Theorem prm2orodd 16630

Description: A prime number is either 2 or odd. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm2orodd	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))

Proof of Theorem prm2orodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12230	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		dvdsprime 16626	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ (2 = 𝑃 ∨ 2 = 1)))
3	1, 2	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 ∥ 𝑃 ↔ (2 = 𝑃 ∨ 2 = 1)))
4		eqcom 2744	. . . . . 6 ⊢ (2 = 𝑃 ↔ 𝑃 = 2)
5	4	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (2 = 𝑃 → 𝑃 = 2)
6		1ne2 12360	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
7		necom 2986	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 1)
8		eqneqall 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (2 = 1 → (2 ≠ 1 → 𝑃 = 2))
9	8	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≠ 1 → (2 = 1 → 𝑃 = 2))
10	7, 9	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (1 ≠ 2 → (2 = 1 → 𝑃 = 2))
11	6, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 = 1 → 𝑃 = 2)
12	5, 11	jaoi 858	. . . 4 ⊢ ((2 = 𝑃 ∨ 2 = 1) → 𝑃 = 2)
13	3, 12	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 ∥ 𝑃 → 𝑃 = 2))
14	13	con3d 152	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃))
15	14	orrd 864	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  1c1 11039  ℕcn 12157  2c2 12212   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  2lgs  27386