Theorem prmexpb 16630

Description: Two positive prime powers are equal iff the primes and the powers are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
prmexpb	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁)))

Proof of Theorem prmexpb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5		iddvdsexp 16190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀))
7		breq2 5093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁)))
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁)))
9		simp1l 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		prmdvdsexpb 16627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
14	8, 13	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃↑𝑀) ↔ 𝑃 = 𝑄))
15	6, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 = 𝑄)
16	3	zred 12577	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ)
17	4	nnzd 12495	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	11	nnzd 12495	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		prmgt1 16608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑃)
21	20	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 1 < 𝑃)
22		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁))
23	15	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃↑𝑁) = (𝑄↑𝑁))
24	22, 23	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃↑𝑀) = (𝑃↑𝑁))
25	16, 17, 18, 21, 24	expcand 14160	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
26	15, 25	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁)) → (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁))
27	26	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) → (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
28		oveq12 7355	. 2 ⊢ ((𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁))
29	27, 28	impbid1 225	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃↑𝑀) = (𝑄↑𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄 ∧ 𝑀 = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  1c1 11007   < clt 11146  ℕcn 12125  ℤcz 12468  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  fsumvma  27151