MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmexpb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmexpb 16470
Description: Two positive prime powers are equal iff the primes and the powers are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmexpb (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))

Proof of Theorem prmexpb
StepHypRef Expression
1 prmz 16425 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
323ad2ant1 1133 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℤ)
4 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5 iddvdsexp 16034 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
7 breq2 5085 . . . . . . 7 ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄𝑁)))
873ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄𝑁)))
9 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11 simp2r 1200 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 prmdvdsexpb 16466 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
139, 10, 11, 12syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
148, 13bitrd 279 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 = 𝑄))
156, 14mpbid 231 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 = 𝑄)
163zred 12472 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ)
174nnzd 12471 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1811nnzd 12471 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 prmgt1 16447 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2019ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑃)
21203adant3 1132 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 1 < 𝑃)
22 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁))
2315oveq1d 7322 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑁) = (𝑄𝑁))
2422, 23eqtr4d 2779 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
2516, 17, 18, 21, 24expcand 14016 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2615, 25jca 513 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁))
27263expia 1121 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) → (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))
28 oveq12 7316 . 2 ((𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁) → (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁))
2927, 28impbid1 224 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  1c1 10918   < clt 11055  cn 12019  cz 12365  cexp 13828  cdvds 16008  cprime 16421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-prm 16422
This theorem is referenced by:  fsumvma  26406
  Copyright terms: Public domain W3C validator