MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmfac1 16662
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜0))
21breq2d 5160 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0)))
3 breq2 5152 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค 0))
42, 3imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0)))
54imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))))
6 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘˜))
76breq2d 5160 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜)))
8 breq2 5152 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜))
97, 8imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜)))
109imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜))))
11 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1211breq2d 5160 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
13 breq2 5152 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
1412, 13imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
1514imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
16 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1716breq2d 5160 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
18 breq2 5152 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
1917, 18imbi12d 344 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)))
2019imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))))
21 fac0 14240 . . . . 5 (!โ€˜0) = 1
2221breq2i 5156 . . . 4 (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1)
23 nprmdvds1 16647 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
2423pm2.21d 121 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))
2522, 24biimtrid 241 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))
26 facp1 14242 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
2827breq2d 5160 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
29 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
30 faccl 14247 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3231nnzd 12589 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3534nnzd 12589 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
36 euclemma 16654 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
3729, 32, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
3828, 37bitrd 278 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
39 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
4140lep1d 12149 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
42 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4443zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
4534nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
46 letr 11312 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4744, 40, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4841, 47mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4948imim2d 57 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5049com23 86 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
51 dvdsle 16257 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
5243, 34, 51syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
5352a1dd 50 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5450, 53jaod 857 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5538, 54sylbid 239 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5655com23 86 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5756ex 413 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
5857a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 12661 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)))
60593imp 1111 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  !cfa 14237   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  16666  chtublem  26938  bposlem3  27013
  Copyright terms: Public domain W3C validator