Theorem prmfac1 16424

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2	1	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 0))
4	2, 3	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
5	4	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
7	6	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑘))
9	7, 8	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)))
10	9	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘))))
11		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
12	11	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
14	12, 13	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
17	16	breq2d 5091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
19	17, 18	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
20	19	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁))))
21		fac0 13988	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
22	21	breq2i 5087	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23		nprmdvds1 16409	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
24	23	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
25	22, 24	syl5bi 241	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26		facp1 13990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
28	27	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30		faccl 13995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33		nn0p1nn 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36		euclemma 16416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
38	28, 37	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	40	lep1d 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42		prmz 16378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
44	43	zred 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
45	34	nnred 11988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46		letr 11069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
48	41, 47	mpan2d 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ≤ 𝑘 → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
49	48	imim2d 57	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
50	49	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51		dvdsle 16017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
52	43, 34, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
53	52	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
54	50, 53	jaod 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
55	38, 54	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
56	55	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
57	56	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
60	59	3imp 1110	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877   ≤ cle 11011  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  !cfa 13985   ∥ cdvds 15961  ℙcprime 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-gcd 16200  df-prm 16375

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  16428  chtublem  26357  bposlem3  26432