MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmfac1 16604
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜0))
21breq2d 5122 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0)))
3 breq2 5114 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค 0))
42, 3imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0)))
54imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))))
6 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘˜))
76breq2d 5122 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜)))
8 breq2 5114 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜))
97, 8imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜)))
109imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜))))
11 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1211breq2d 5122 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
13 breq2 5114 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
1412, 13imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
1514imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
16 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1716breq2d 5122 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
18 breq2 5114 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
1917, 18imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)))
2019imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))))
21 fac0 14183 . . . . 5 (!โ€˜0) = 1
2221breq2i 5118 . . . 4 (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1)
23 nprmdvds1 16589 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
2423pm2.21d 121 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))
2522, 24biimtrid 241 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))
26 facp1 14185 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
2827breq2d 5122 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
29 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
30 faccl 14190 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3130adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3231nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3534nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
36 euclemma 16596 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
3729, 32, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
3828, 37bitrd 279 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
39 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
4140lep1d 12093 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
42 prmz 16558 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4443zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
4534nnred 12175 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
46 letr 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4744, 40, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4841, 47mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4948imim2d 57 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5049com23 86 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
51 dvdsle 16199 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
5243, 34, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
5352a1dd 50 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5450, 53jaod 858 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5538, 54sylbid 239 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5655com23 86 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5756ex 414 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
5857a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 12605 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)))
60593imp 1112 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  !cfa 14180   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  16608  chtublem  26575  bposlem3  26650
  Copyright terms: Public domain W3C validator