Theorem prmfac1 16053

Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
prmfac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem prmfac1

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
2	1	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 0))
4	2, 3	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
5	4	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
7	6	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑘))
9	7, 8	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)))
10	9	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘))))
11		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
12	11	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
14	12, 13	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
17	16	breq2d 5042	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑥 ↔ 𝑃 ≤ 𝑁))
19	17, 18	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
20	19	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁))))
21		fac0 13632	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
22	21	breq2i 5038	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23		nprmdvds1 16040	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
24	23	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
25	22, 24	syl5bi 245	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26		facp1 13634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
27	26	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
28	27	breq2d 5042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30		faccl 13639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
31	30	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	31	nnzd 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33		nn0p1nn 11924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
34	33	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36		euclemma 16047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
37	29, 32, 35, 36	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
38	28, 37	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
41	40	lep1d 11560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42		prmz 16009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
43	42	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
44	43	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
45	34	nnred 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46		letr 10723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
47	44, 40, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
48	41, 47	mpan2d 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ≤ 𝑘 → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
49	48	imim2d 57	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
50	49	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51		dvdsle 15652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
52	43, 34, 51	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
53	52	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
54	50, 53	jaod 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
55	38, 54	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
56	55	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
57	56	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
58	57	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ 𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
59	5, 10, 15, 20, 25, 58	nn0ind 12065	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)))
60	59	3imp 1108	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  !cfa 13629   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006

This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  16057  chtublem  25795  bposlem3  25870