MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmfac1 16658
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜0))
21breq2d 5161 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0)))
3 breq2 5153 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค 0))
42, 3imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0)))
54imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))))
6 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘˜))
76breq2d 5161 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜)))
8 breq2 5153 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜))
97, 8imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜)))
109imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜))))
11 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1211breq2d 5161 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
13 breq2 5153 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
1412, 13imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
1514imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
16 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
1716breq2d 5161 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)))
18 breq2 5153 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))
1917, 18imbi12d 345 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)))
2019imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘))))
21 fac0 14236 . . . . 5 (!โ€˜0) = 1
2221breq2i 5157 . . . 4 (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 1)
23 nprmdvds1 16643 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 1)
2423pm2.21d 121 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 1 โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))
2522, 24biimtrid 241 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜0) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค 0))
26 facp1 14238 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
2827breq2d 5161 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
29 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
30 faccl 14243 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3130adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3231nnzd 12585 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3534nnzd 12585 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
36 euclemma 16650 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
3729, 32, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
3828, 37bitrd 279 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1))))
39 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
4140lep1d 12145 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
42 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4443zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
4534nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
46 letr 11308 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4744, 40, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4841, 47mpan2d 693 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
4948imim2d 57 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5049com23 86 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
51 dvdsle 16253 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
5243, 34, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
5352a1dd 50 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5450, 53jaod 858 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5538, 54sylbid 239 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5655com23 86 . . . . 5 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1))))
5756ex 414 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
5857a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘˜) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘˜)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))))
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 12657 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)))
60593imp 1112 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (!โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  !cfa 14233   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  16662  chtublem  26714  bposlem3  26789
  Copyright terms: Public domain W3C validator