MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1sca 20420
Description: Scalars of a univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psr1lmod.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
Assertion
Ref Expression
psr1sca (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem psr1sca
StepHypRef Expression
1 eqid 2823 . 2 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
2 psr1lmod.p . . 3 𝑃 = (PwSer1𝑅)
32psr1val 20356 . 2 𝑃 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
4 0ss 4352 . . 3 ∅ ⊆ (1o × 1o)
54a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → ∅ ⊆ (1o × 1o))
6 1on 8111 . . 3 1o ∈ On
76a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1o ∈ On)
8 id 22 . 2 (𝑅𝑉𝑅𝑉)
91, 3, 5, 7, 8opsrsca 20265 1 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3938  c0 4293   × cxp 5555  Oncon0 6193  cfv 6357  (class class class)co 7158  1oc1o 8097  Scalarcsca 16570   mPwSer cmps 20133  PwSer1cps1 20345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-psr 20138  df-opsr 20142  df-psr1 20350
This theorem is referenced by:  psr1sca2  20421  ply1sca  20423
  Copyright terms: Public domain W3C validator