Theorem psr1sca2 22314

Description: Scalars of a univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psr1lmod.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
psr1sca2	⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)

Proof of Theorem psr1sca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6945	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2		psr1lmod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
3	2	psr1sca 22313	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃))
5		scaid 17346	. . . 4 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
6	5	str0 17227	. . 3 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
7		fvprc 6861	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
8		fvprc 6861	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (PwSer1‘𝑅) = ∅)
9	2, 8	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
10	9	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘∅))
11	6, 7, 10	3eqtr4a 2825	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃))
12	4, 11	pm2.61i 183	1 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  ∅c0 4287   I cid 5543  ‘cfv 6523  ndxcnx 17231  Scalarcsca 17291  PwSer₁cps1 22239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-tset 17307  df-ple 17308  df-psr 21963  df-opsr 21967  df-psr1 22244

This theorem is referenced by: (None)