Theorem ply1sca 22283

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22280	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6865	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22225	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17344	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2803	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1_oc1o 8414  Basecbs 17217  Scalarcsca 17261   mPoly cmpl 21927  PwSer₁cps1 22206  Poly₁cpl1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-tset 17277  df-ple 17278  df-psr 21930  df-opsr 21934  df-psr1 22211  df-ply1 22213

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22284  ply1ascl0  22285  ply1ascl1  22286  ply10s0  22288  ply1ascl  22290  coe1pwmul  22311  ply1scl0  22322  ply1scl1  22324  ply1idvr1OLD  22327  ply1coefsupp  22329  ply1coe  22330  cply1coe0bi  22334  ply1chr  22338  gsumsmonply1  22339  gsummoncoe1  22340  lply1binomsc  22343  ply1fermltlchr  22344  evls1sca  22355  evl1vsd  22376  evl1scvarpw  22395  evl1gsummon  22397  evls1fpws  22401  evls1vsca  22405  asclply1subcl  22406  evls1maplmhm  22409  cpmatacl  22745  cpmatinvcl  22746  mat2pmatbas  22755  mat2pmatghm  22759  mat2pmatmul  22760  mat2pmatlin  22764  decpmatid  22799  pmatcollpw2lem  22806  monmatcollpw  22808  pmatcollpwlem  22809  pmatcollpwscmatlem1  22818  pm2mpcl  22826  idpm2idmp  22830  mply1topmatcllem  22832  mply1topmatcl  22834  mp2pm2mplem4  22838  mp2pm2mplem5  22839  pm2mpghmlem2  22841  pm2mpghm  22845  pm2mpmhmlem1  22847  pm2mpmhmlem2  22848  monmat2matmon  22853  chpscmat  22871  chpscmatgsumbin  22873  chpscmatgsummon  22874  deg1pwle  26149  deg1pw  26150  ply1remlem  26194  fta1blem  26200  plypf1  26241  ply1lvec  33699  ressasclcl  33711  ply1asclunit  33714  coe1mon  33727  ply1coedeg  33729  deg1vr  33732  ply1degltlss  33736  gsummoncoe1fzo  33737  q1pvsca  33744  r1pvsca  33745  r1p0  33746  r1plmhm  33750  vietadeg1  33819  vietalem  33820  ply1degltdimlem  33863  irngnzply1lem  33931  extdgfialglem2  33934  algextdeglem8  33965  2sqr3minply  34021  cos9thpiminplylem6  34028  cos9thpiminply  34029  aks5lem2  42742  ply1asclzrhval  42743  ply1vr1smo  48943  ply1sclrmsm  48944  ply1mulgsumlem4  48949  ply1mulgsum  48950