Theorem ply1sca 22175

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22172	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6844	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22116	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17257	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2784	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1_oc1o 8387  Basecbs 17130  Scalarcsca 17174   mPoly cmpl 21853  PwSer₁cps1 22097  Poly₁cpl1 22099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-tset 17190  df-ple 17191  df-psr 21856  df-opsr 21860  df-psr1 22102  df-ply1 22104

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22176  ply1ascl0  22177  ply1ascl1  22178  ply10s0  22180  ply1ascl  22182  coe1pwmul  22203  ply1scl0  22214  ply1scl1  22217  ply1idvr1OLD  22220  ply1coefsupp  22222  ply1coe  22223  cply1coe0bi  22227  ply1chr  22231  gsumsmonply1  22232  gsummoncoe1  22233  lply1binomsc  22236  ply1fermltlchr  22237  evls1sca  22248  evl1vsd  22269  evl1scvarpw  22288  evl1gsummon  22290  evls1fpws  22294  evls1vsca  22298  asclply1subcl  22299  evls1maplmhm  22302  cpmatacl  22641  cpmatinvcl  22642  mat2pmatbas  22651  mat2pmatghm  22655  mat2pmatmul  22656  mat2pmatlin  22660  decpmatid  22695  pmatcollpw2lem  22702  monmatcollpw  22704  pmatcollpwlem  22705  pmatcollpwscmatlem1  22714  pm2mpcl  22722  idpm2idmp  22726  mply1topmatcllem  22728  mply1topmatcl  22730  mp2pm2mplem4  22734  mp2pm2mplem5  22735  pm2mpghmlem2  22737  pm2mpghm  22741  pm2mpmhmlem1  22743  pm2mpmhmlem2  22744  monmat2matmon  22749  chpscmat  22767  chpscmatgsumbin  22769  chpscmatgsummon  22770  deg1pwle  26062  deg1pw  26063  ply1remlem  26107  fta1blem  26113  plypf1  26154  ply1lvec  33533  ressasclcl  33545  ply1asclunit  33548  coe1mon  33560  deg1vr  33564  ply1degltlss  33568  gsummoncoe1fzo  33569  q1pvsca  33575  r1pvsca  33576  r1p0  33577  r1plmhm  33581  ply1degltdimlem  33646  irngnzply1lem  33714  extdgfialglem2  33717  algextdeglem8  33748  2sqr3minply  33804  cos9thpiminplylem6  33811  cos9thpiminply  33812  aks5lem2  42290  ply1asclzrhval  42291  ply1vr1smo  48497  ply1sclrmsm  48498  ply1mulgsumlem4  48504  ply1mulgsum  48505