Theorem ply1sca 22158

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22155	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6830	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22099	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17239	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1_oc1o 8373  Basecbs 17112  Scalarcsca 17156   mPoly cmpl 21836  PwSer₁cps1 22080  Poly₁cpl1 22082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-tset 17172  df-ple 17173  df-psr 21839  df-opsr 21843  df-psr1 22085  df-ply1 22087

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22159  ply1ascl0  22160  ply1ascl1  22161  ply10s0  22163  ply1ascl  22165  coe1pwmul  22186  ply1scl0  22197  ply1scl1  22200  ply1idvr1OLD  22203  ply1coefsupp  22205  ply1coe  22206  cply1coe0bi  22210  ply1chr  22214  gsumsmonply1  22215  gsummoncoe1  22216  lply1binomsc  22219  ply1fermltlchr  22220  evls1sca  22231  evl1vsd  22252  evl1scvarpw  22271  evl1gsummon  22273  evls1fpws  22277  evls1vsca  22281  asclply1subcl  22282  evls1maplmhm  22285  cpmatacl  22624  cpmatinvcl  22625  mat2pmatbas  22634  mat2pmatghm  22638  mat2pmatmul  22639  mat2pmatlin  22643  decpmatid  22678  pmatcollpw2lem  22685  monmatcollpw  22687  pmatcollpwlem  22688  pmatcollpwscmatlem1  22697  pm2mpcl  22705  idpm2idmp  22709  mply1topmatcllem  22711  mply1topmatcl  22713  mp2pm2mplem4  22717  mp2pm2mplem5  22718  pm2mpghmlem2  22720  pm2mpghm  22724  pm2mpmhmlem1  22726  pm2mpmhmlem2  22727  monmat2matmon  22732  chpscmat  22750  chpscmatgsumbin  22752  chpscmatgsummon  22753  deg1pwle  26045  deg1pw  26046  ply1remlem  26090  fta1blem  26096  plypf1  26137  ply1lvec  33512  ressasclcl  33524  ply1asclunit  33527  coe1mon  33539  deg1vr  33543  ply1degltlss  33547  gsummoncoe1fzo  33548  q1pvsca  33554  r1pvsca  33555  r1p0  33556  r1plmhm  33560  ply1degltdimlem  33625  irngnzply1lem  33693  extdgfialglem2  33696  algextdeglem8  33727  2sqr3minply  33783  cos9thpiminplylem6  33790  cos9thpiminply  33791  aks5lem2  42199  ply1asclzrhval  42200  ply1vr1smo  48393  ply1sclrmsm  48394  ply1mulgsumlem4  48400  ply1mulgsum  48401