Theorem ply1sca 22194

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6845	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22135	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17264	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1_oc1o 8389  Basecbs 17137  Scalarcsca 17181   mPoly cmpl 21863  PwSer₁cps1 22116  Poly₁cpl1 22118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-ple 17198  df-psr 21866  df-opsr 21870  df-psr1 22121  df-ply1 22123

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22195  ply1ascl0  22196  ply1ascl1  22197  ply10s0  22199  ply1ascl  22201  coe1pwmul  22222  ply1scl0  22233  ply1scl1  22235  ply1idvr1OLD  22238  ply1coefsupp  22240  ply1coe  22241  cply1coe0bi  22245  ply1chr  22249  gsumsmonply1  22250  gsummoncoe1  22251  lply1binomsc  22254  ply1fermltlchr  22255  evls1sca  22266  evl1vsd  22287  evl1scvarpw  22306  evl1gsummon  22308  evls1fpws  22312  evls1vsca  22316  asclply1subcl  22317  evls1maplmhm  22320  cpmatacl  22659  cpmatinvcl  22660  mat2pmatbas  22669  mat2pmatghm  22673  mat2pmatmul  22674  mat2pmatlin  22678  decpmatid  22713  pmatcollpw2lem  22720  monmatcollpw  22722  pmatcollpwlem  22723  pmatcollpwscmatlem1  22732  pm2mpcl  22740  idpm2idmp  22744  mply1topmatcllem  22746  mply1topmatcl  22748  mp2pm2mplem4  22752  mp2pm2mplem5  22753  pm2mpghmlem2  22755  pm2mpghm  22759  pm2mpmhmlem1  22761  pm2mpmhmlem2  22762  monmat2matmon  22767  chpscmat  22785  chpscmatgsumbin  22787  chpscmatgsummon  22788  deg1pwle  26066  deg1pw  26067  ply1remlem  26111  fta1blem  26117  plypf1  26158  ply1lvec  33624  ressasclcl  33636  ply1asclunit  33639  coe1mon  33652  ply1coedeg  33654  deg1vr  33657  ply1degltlss  33661  gsummoncoe1fzo  33662  q1pvsca  33669  r1pvsca  33670  r1p0  33671  r1plmhm  33675  vietadeg1  33727  vietalem  33728  ply1degltdimlem  33772  irngnzply1lem  33840  extdgfialglem2  33843  algextdeglem8  33874  2sqr3minply  33930  cos9thpiminplylem6  33937  cos9thpiminply  33938  aks5lem2  42618  ply1asclzrhval  42619  ply1vr1smo  48817  ply1sclrmsm  48818  ply1mulgsumlem4  48823  ply1mulgsum  48824