Theorem ply1sca 22423

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22420	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6894	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22365	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17402	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2813	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444  Basecbs 17275  Scalarcsca 17319   mPoly cmpl 22067  PwSer₁cps1 22346  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-tset 17335  df-ple 17336  df-psr 22070  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  ply1sca2  22424  ply1ascl0  22425  ply1ascl1  22426  ply10s0  22428  ply1ascl  22430  coe1pwmul  22451  ply1scl0  22462  ply1scl1  22464  ply1coefsupp  22468  ply1coe  22469  cply1coe0bi  22473  ply1chr  22477  gsumsmonply1  22478  gsummoncoe1  22479  lply1binomsc  22482  ply1fermltlchr  22483  evls1sca  22494  evl1vsd  22515  evl1scvarpw  22534  evl1gsummon  22536  evls1fpws  22540  evls1vsca  22544  asclply1subcl  22545  evls1maplmhm  22548  cpmatacl  22884  cpmatinvcl  22885  mat2pmatbas  22894  mat2pmatghm  22898  mat2pmatmul  22899  mat2pmatlin  22903  decpmatid  22938  pmatcollpw2lem  22945  monmatcollpw  22947  pmatcollpwlem  22948  pmatcollpwscmatlem1  22957  pm2mpcl  22965  idpm2idmp  22969  mply1topmatcllem  22971  mply1topmatcl  22973  mp2pm2mplem4  22977  mp2pm2mplem5  22978  pm2mpghmlem2  22980  pm2mpghm  22984  pm2mpmhmlem1  22986  pm2mpmhmlem2  22987  monmat2matmon  22992  chpscmat  23010  chpscmatgsumbin  23012  chpscmatgsummon  23013  deg1pwle  26288  deg1pw  26289  ply1remlem  26333  fta1blem  26339  plypf1  26380  ply1lvec  33858  ressasclcl  33870  ply1asclunit  33873  coe1mon  33886  ply1coedeg  33888  deg1vr  33891  ply1degltlss  33895  gsummoncoe1fzo  33896  q1pvsca  33903  r1pvsca  33904  r1p0  33905  r1plmhm  33908  vietadeg1  33977  vietalem  33978  ply1degltdimlem  34021  irngnzply1lem  34089  extdgfialglem2  34092  algextdeglem8  34123  2sqr3minply  34179  cos9thpiminplylem6  34186  cos9thpiminply  34187  aks5lem2  42982  ply1asclzrhval  42983  ply1vr1smo  49191  ply1sclrmsm  49192  ply1mulgsumlem4  49197  ply1mulgsum  49198