Theorem ply1sca 21775

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 21772	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6905	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 21718	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17288	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1_oc1o 8459  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   mPoly cmpl 21459  PwSer₁cps1 21699  Poly₁cpl1 21701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-psr 21462  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-ply1 21706

This theorem is referenced by:  ply1sca2  21776  ply10s0  21778  ply1ascl  21780  coe1pwmul  21801  ply1scl0  21812  ply1scl1  21815  ply1idvr1  21817  ply1coefsupp  21819  ply1coe  21820  cply1coe0bi  21824  gsumsmonply1  21827  gsummoncoe1  21828  lply1binomsc  21831  evls1sca  21842  evl1vsd  21863  evl1scvarpw  21882  evl1gsummon  21884  cpmatacl  22218  cpmatinvcl  22219  mat2pmatbas  22228  mat2pmatghm  22232  mat2pmatmul  22233  mat2pmatlin  22237  decpmatid  22272  pmatcollpw2lem  22279  monmatcollpw  22281  pmatcollpwlem  22282  pmatcollpwscmatlem1  22291  pm2mpcl  22299  idpm2idmp  22303  mply1topmatcllem  22305  mply1topmatcl  22307  mp2pm2mplem4  22311  mp2pm2mplem5  22312  pm2mpghmlem2  22314  pm2mpghm  22318  pm2mpmhmlem1  22320  pm2mpmhmlem2  22321  monmat2matmon  22326  chpscmat  22344  chpscmatgsumbin  22346  chpscmatgsummon  22347  deg1pwle  25637  deg1pw  25638  ply1remlem  25680  fta1blem  25686  plypf1  25726  ply1lvec  32669  evls1fpws  32677  evls1vsca  32681  ply1ascl0  32683  ply1ascl1  32684  ply1asclunit  32685  asclply1subcl  32691  ply1chr  32692  ply1fermltlchr  32693  coe1mon  32695  ply1degltlss  32698  gsummoncoe1fzo  32699  ply1degltdimlem  32738  irngnzply1lem  32785  evls1maplmhm  32791  ply1vr1smo  47110  ply1sclrmsm  47112  ply1mulgsumlem4  47118  ply1mulgsum  47119