Theorem ply1sca 22144

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22141	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6874	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22085	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17313	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1_oc1o 8430  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   mPoly cmpl 21822  PwSer₁cps1 22066  Poly₁cpl1 22068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-ple 17247  df-psr 21825  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-ply1 22073

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22145  ply1ascl0  22146  ply1ascl1  22147  ply10s0  22149  ply1ascl  22151  coe1pwmul  22172  ply1scl0  22183  ply1scl1  22186  ply1idvr1OLD  22189  ply1coefsupp  22191  ply1coe  22192  cply1coe0bi  22196  ply1chr  22200  gsumsmonply1  22201  gsummoncoe1  22202  lply1binomsc  22205  ply1fermltlchr  22206  evls1sca  22217  evl1vsd  22238  evl1scvarpw  22257  evl1gsummon  22259  evls1fpws  22263  evls1vsca  22267  asclply1subcl  22268  evls1maplmhm  22271  cpmatacl  22610  cpmatinvcl  22611  mat2pmatbas  22620  mat2pmatghm  22624  mat2pmatmul  22625  mat2pmatlin  22629  decpmatid  22664  pmatcollpw2lem  22671  monmatcollpw  22673  pmatcollpwlem  22674  pmatcollpwscmatlem1  22683  pm2mpcl  22691  idpm2idmp  22695  mply1topmatcllem  22697  mply1topmatcl  22699  mp2pm2mplem4  22703  mp2pm2mplem5  22704  pm2mpghmlem2  22706  pm2mpghm  22710  pm2mpmhmlem1  22712  pm2mpmhmlem2  22713  monmat2matmon  22718  chpscmat  22736  chpscmatgsumbin  22738  chpscmatgsummon  22739  deg1pwle  26032  deg1pw  26033  ply1remlem  26077  fta1blem  26083  plypf1  26124  ply1lvec  33535  ressasclcl  33547  ply1asclunit  33550  coe1mon  33561  deg1vr  33565  ply1degltlss  33569  gsummoncoe1fzo  33570  q1pvsca  33576  r1pvsca  33577  r1p0  33578  r1plmhm  33582  ply1degltdimlem  33625  irngnzply1lem  33692  algextdeglem8  33721  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem6  33784  cos9thpiminply  33785  aks5lem2  42182  ply1asclzrhval  42183  ply1vr1smo  48375  ply1sclrmsm  48376  ply1mulgsumlem4  48382  ply1mulgsum  48383