MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sca 19942
Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1sca (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1sca 19939 . 2 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(PwSer1𝑅)))
3 fvex 6423 . . 3 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ V
4 ply1lmod.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
54, 1ply1val 19883 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
6 eqid 2798 . . . 4 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1𝑅))
75, 6resssca 16349 . . 3 ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
83, 7ax-mp 5 . 2 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
92, 8syl6eq 2848 1 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3384  cfv 6100  (class class class)co 6877  1𝑜c1o 7791  Basecbs 16181  Scalarcsca 16267   mPoly cmpl 19673  PwSer1cps1 19864  Poly1cpl1 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-fsupp 8517  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-fz 12578  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-tset 16283  df-ple 16284  df-psr 19676  df-opsr 19680  df-psr1 19869  df-ply1 19871
This theorem is referenced by:  ply1sca2  19943  ply10s0  19945  ply1ascl  19947  coe1pwmul  19968  ply1idvr1  19982  ply1coefsupp  19984  ply1coe  19985  cply1coe0bi  19989  gsumsmonply1  19992  gsummoncoe1  19993  lply1binomsc  19996  evls1sca  20007  evl1vsd  20027  evl1scvarpw  20046  evl1gsummon  20048  cpmatacl  20846  cpmatinvcl  20847  mat2pmatbas  20856  mat2pmatghm  20860  mat2pmatmul  20861  mat2pmatlin  20865  decpmatid  20900  pmatcollpw2lem  20907  monmatcollpw  20909  pmatcollpwlem  20910  pmatcollpwscmatlem1  20919  pm2mpcl  20927  idpm2idmp  20931  mply1topmatcllem  20933  mply1topmatcl  20935  mp2pm2mplem4  20939  mp2pm2mplem5  20940  pm2mpghmlem2  20942  pm2mpghm  20946  pm2mpmhmlem1  20948  pm2mpmhmlem2  20949  monmat2matmon  20954  chpscmat  20972  chpscmatgsumbin  20974  chpscmatgsummon  20975  deg1pwle  24217  deg1pw  24218  ply1remlem  24260  fta1blem  24266  plypf1  24306  ply1vr1smo  42957  ply1sclrmsm  42959  ply1mulgsumlem4  42965  ply1mulgsum  42966
  Copyright terms: Public domain W3C validator