Theorem ply1sca 22600

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22597	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6921	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22542	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17543	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497  Basecbs 17416  Scalarcsca 17460   mPoly cmpl 22244  PwSer₁cps1 22523  Poly₁cpl1 22525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-tset 17476  df-ple 17477  df-psr 22247  df-opsr 22251  df-psr1 22528  df-ply1 22530

This theorem is used by:  ply1sca2  22601  ply1ascl0  22602  ply1ascl1  22603  ply10s0  22605  ply1ascl  22607  coe1pwmul  22628  ply1scl0  22639  ply1scl1  22641  ply1coefsupp  22645  ply1coe  22646  cply1coe0bi  22650  ply1chr  22654  gsumsmonply1  22655  gsummoncoe1  22656  lply1binomsc  22659  ply1fermltlchr  22660  evls1sca  22671  evl1vsd  22692  evl1scvarpw  22711  evl1gsummon  22713  evls1fpws  22717  evls1vsca  22721  asclply1subcl  22722  evls1maplmhm  22725  cpmatacl  23064  cpmatinvcl  23065  mat2pmatbas  23074  mat2pmatghm  23078  mat2pmatmul  23079  mat2pmatlin  23083  decpmatid  23118  pmatcollpw2lem  23125  monmatcollpw  23127  pmatcollpwlem  23128  pmatcollpwscmatlem1  23137  pm2mpcl  23145  idpm2idmp  23149  mply1topmatcllem  23151  mply1topmatcl  23153  mp2pm2mplem4  23157  mp2pm2mplem5  23158  pm2mpghmlem2  23160  pm2mpghm  23164  pm2mpmhmlem1  23166  pm2mpmhmlem2  23167  monmat2matmon  23172  chpscmat  23190  chpscmatgsumbin  23192  chpscmatgsummon  23193  deg1pwle  26468  deg1pw  26469  ply1remlem  26513  fta1blem  26519  plypf1  26561  ply1lvec  34161  ressasclcl  34173  ply1asclunit  34176  coe1mon  34189  ply1coedeg  34191  deg1vr  34194  ply1degltlss  34198  gsummoncoe1fzo  34199  q1pvsca  34206  r1pvsca  34207  r1p0  34208  r1plmhm  34211  vietadeg1  34280  vietalem  34281  ply1degltdimlem  34324  irngnzply1lem  34392  extdgfialglem2  34395  algextdeglem8  34426  2sqr3minply  34482  cos9thpiminplylem6  34489  cos9thpiminply  34490  aks5lem2  43429  ply1asclzrhval  43430  ply1vr1smo  49700  ply1sclrmsm  49701  ply1mulgsumlem4  49706  ply1mulgsum  49707