Theorem ply1sca 22269

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22266	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6919	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22210	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17388	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  1_oc1o 8497  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300   mPoly cmpl 21943  PwSer₁cps1 22191  Poly₁cpl1 22193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-psr 21946  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-ply1 22198

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22270  ply1ascl0  22271  ply1ascl1  22272  ply10s0  22274  ply1ascl  22276  coe1pwmul  22297  ply1scl0  22308  ply1scl1  22311  ply1idvr1OLD  22314  ply1coefsupp  22316  ply1coe  22317  cply1coe0bi  22321  ply1chr  22325  gsumsmonply1  22326  gsummoncoe1  22327  lply1binomsc  22330  ply1fermltlchr  22331  evls1sca  22342  evl1vsd  22363  evl1scvarpw  22382  evl1gsummon  22384  evls1fpws  22388  evls1vsca  22392  asclply1subcl  22393  evls1maplmhm  22396  cpmatacl  22737  cpmatinvcl  22738  mat2pmatbas  22747  mat2pmatghm  22751  mat2pmatmul  22752  mat2pmatlin  22756  decpmatid  22791  pmatcollpw2lem  22798  monmatcollpw  22800  pmatcollpwlem  22801  pmatcollpwscmatlem1  22810  pm2mpcl  22818  idpm2idmp  22822  mply1topmatcllem  22824  mply1topmatcl  22826  mp2pm2mplem4  22830  mp2pm2mplem5  22831  pm2mpghmlem2  22833  pm2mpghm  22837  pm2mpmhmlem1  22839  pm2mpmhmlem2  22840  monmat2matmon  22845  chpscmat  22863  chpscmatgsumbin  22865  chpscmatgsummon  22866  deg1pwle  26173  deg1pw  26174  ply1remlem  26218  fta1blem  26224  plypf1  26265  ply1lvec  33564  ressasclcl  33575  ply1asclunit  33578  coe1mon  33589  deg1vr  33593  ply1degltlss  33596  gsummoncoe1fzo  33597  q1pvsca  33603  r1pvsca  33604  r1p0  33605  r1plmhm  33609  ply1degltdimlem  33649  irngnzply1lem  33704  algextdeglem8  33729  2sqr3minply  33752  aks5lem2  42168  ply1asclzrhval  42169  ply1vr1smo  48227  ply1sclrmsm  48228  ply1mulgsumlem4  48234  ply1mulgsum  48235