Theorem ply1sca 22391

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22388	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6894	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22333	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17395	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8445  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312   mPoly cmpl 22035  PwSer₁cps1 22314  Poly₁cpl1 22316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-tset 17328  df-ple 17329  df-psr 22038  df-opsr 22042  df-psr1 22319  df-ply1 22321

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22392  ply1ascl0  22393  ply1ascl1  22394  ply10s0  22396  ply1ascl  22398  coe1pwmul  22419  ply1scl0  22430  ply1scl1  22432  ply1coefsupp  22436  ply1coe  22437  cply1coe0bi  22441  ply1chr  22445  gsumsmonply1  22446  gsummoncoe1  22447  lply1binomsc  22450  ply1fermltlchr  22451  evls1sca  22462  evl1vsd  22483  evl1scvarpw  22502  evl1gsummon  22504  evls1fpws  22508  evls1vsca  22512  asclply1subcl  22513  evls1maplmhm  22516  cpmatacl  22852  cpmatinvcl  22853  mat2pmatbas  22862  mat2pmatghm  22866  mat2pmatmul  22867  mat2pmatlin  22871  decpmatid  22906  pmatcollpw2lem  22913  monmatcollpw  22915  pmatcollpwlem  22916  pmatcollpwscmatlem1  22925  pm2mpcl  22933  idpm2idmp  22937  mply1topmatcllem  22939  mply1topmatcl  22941  mp2pm2mplem4  22945  mp2pm2mplem5  22946  pm2mpghmlem2  22948  pm2mpghm  22952  pm2mpmhmlem1  22954  pm2mpmhmlem2  22955  monmat2matmon  22960  chpscmat  22978  chpscmatgsumbin  22980  chpscmatgsummon  22981  deg1pwle  26256  deg1pw  26257  ply1remlem  26301  fta1blem  26307  plypf1  26348  ply1lvec  33815  ressasclcl  33827  ply1asclunit  33830  coe1mon  33843  ply1coedeg  33845  deg1vr  33848  ply1degltlss  33852  gsummoncoe1fzo  33853  q1pvsca  33860  r1pvsca  33861  r1p0  33862  r1plmhm  33865  vietadeg1  33934  vietalem  33935  ply1degltdimlem  33978  irngnzply1lem  34046  extdgfialglem2  34049  algextdeglem8  34080  2sqr3minply  34136  cos9thpiminplylem6  34143  cos9thpiminply  34144  aks5lem2  42922  ply1asclzrhval  42923  ply1vr1smo  49130  ply1sclrmsm  49131  ply1mulgsumlem4  49136  ply1mulgsum  49137