Theorem ply1sca 22531

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22528	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6886	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22473	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17475	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447  Basecbs 17348  Scalarcsca 17392   mPoly cmpl 22175  PwSer₁cps1 22454  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-tset 17408  df-ple 17409  df-psr 22178  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-ply1 22461

This theorem is used by:  ply1sca2  22532  ply1ascl0  22533  ply1ascl1  22534  ply10s0  22536  ply1ascl  22538  coe1pwmul  22559  ply1scl0  22570  ply1scl1  22572  ply1coefsupp  22576  ply1coe  22577  cply1coe0bi  22581  ply1chr  22585  gsumsmonply1  22586  gsummoncoe1  22587  lply1binomsc  22590  ply1fermltlchr  22591  evls1sca  22602  evl1vsd  22623  evl1scvarpw  22642  evl1gsummon  22644  evls1fpws  22648  evls1vsca  22652  asclply1subcl  22653  evls1maplmhm  22656  cpmatacl  22995  cpmatinvcl  22996  mat2pmatbas  23005  mat2pmatghm  23009  mat2pmatmul  23010  mat2pmatlin  23014  decpmatid  23049  pmatcollpw2lem  23056  monmatcollpw  23058  pmatcollpwlem  23059  pmatcollpwscmatlem1  23068  pm2mpcl  23076  idpm2idmp  23080  mply1topmatcllem  23082  mply1topmatcl  23084  mp2pm2mplem4  23088  mp2pm2mplem5  23089  pm2mpghmlem2  23091  pm2mpghm  23095  pm2mpmhmlem1  23097  pm2mpmhmlem2  23098  monmat2matmon  23103  chpscmat  23121  chpscmatgsumbin  23123  chpscmatgsummon  23124  deg1pwle  26399  deg1pw  26400  ply1remlem  26444  fta1blem  26450  plypf1  26492  ply1lvec  34024  ressasclcl  34036  ply1asclunit  34039  coe1mon  34052  ply1coedeg  34054  deg1vr  34057  ply1degltlss  34061  gsummoncoe1fzo  34062  q1pvsca  34069  r1pvsca  34070  r1p0  34071  r1plmhm  34074  vietadeg1  34143  vietalem  34144  ply1degltdimlem  34187  irngnzply1lem  34255  extdgfialglem2  34258  algextdeglem8  34289  2sqr3minply  34345  cos9thpiminplylem6  34352  cos9thpiminply  34353  aks5lem2  43157  ply1asclzrhval  43158  ply1vr1smo  49417  ply1sclrmsm  49418  ply1mulgsumlem4  49423  ply1mulgsum  49424