MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sca 21201
Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1sca (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1sca 21198 . 2 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(PwSer1𝑅)))
3 fvex 6749 . . 3 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4 ply1lmod.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
54, 1ply1val 21142 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6 eqid 2738 . . . 4 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1𝑅))
75, 6resssca 16904 . . 3 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
83, 7ax-mp 5 . 2 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
92, 8eqtrdi 2795 1 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2111  Vcvv 3421  cfv 6398  (class class class)co 7232  1oc1o 8216  Basecbs 16788  Scalarcsca 16833   mPoly cmpl 20892  PwSer1cps1 21123  Poly1cpl1 21125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-supp 7925  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-map 8531  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-fsupp 9011  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-fz 13121  df-struct 16728  df-sets 16745  df-slot 16763  df-ndx 16773  df-base 16789  df-ress 16813  df-plusg 16843  df-mulr 16844  df-sca 16846  df-vsca 16847  df-tset 16849  df-ple 16850  df-psr 20895  df-opsr 20899  df-psr1 21128  df-ply1 21130
This theorem is referenced by:  ply1sca2  21202  ply10s0  21204  ply1ascl  21206  coe1pwmul  21227  ply1idvr1  21241  ply1coefsupp  21243  ply1coe  21244  cply1coe0bi  21248  gsumsmonply1  21251  gsummoncoe1  21252  lply1binomsc  21255  evls1sca  21266  evl1vsd  21287  evl1scvarpw  21306  evl1gsummon  21308  cpmatacl  21640  cpmatinvcl  21641  mat2pmatbas  21650  mat2pmatghm  21654  mat2pmatmul  21655  mat2pmatlin  21659  decpmatid  21694  pmatcollpw2lem  21701  monmatcollpw  21703  pmatcollpwlem  21704  pmatcollpwscmatlem1  21713  pm2mpcl  21721  idpm2idmp  21725  mply1topmatcllem  21727  mply1topmatcl  21729  mp2pm2mplem4  21733  mp2pm2mplem5  21734  pm2mpghmlem2  21736  pm2mpghm  21740  pm2mpmhmlem1  21742  pm2mpmhmlem2  21743  monmat2matmon  21748  chpscmat  21766  chpscmatgsumbin  21768  chpscmatgsummon  21769  deg1pwle  25044  deg1pw  25045  ply1remlem  25087  fta1blem  25093  plypf1  25133  ply1chr  31410  ply1fermltl  31411  ply1vr1smo  45426  ply1sclrmsm  45428  ply1mulgsumlem4  45434  ply1mulgsum  45435
  Copyright terms: Public domain W3C validator