Theorem ply1sca 22321

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22318	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6880	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22263	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17382	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430  Basecbs 17255  Scalarcsca 17299   mPoly cmpl 21965  PwSer₁cps1 22244  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-tset 17315  df-ple 17316  df-psr 21968  df-opsr 21972  df-psr1 22249  df-ply1 22251

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22322  ply1ascl0  22323  ply1ascl1  22324  ply10s0  22326  ply1ascl  22328  coe1pwmul  22349  ply1scl0  22360  ply1scl1  22362  ply1idvr1OLD  22365  ply1coefsupp  22367  ply1coe  22368  cply1coe0bi  22372  ply1chr  22376  gsumsmonply1  22377  gsummoncoe1  22378  lply1binomsc  22381  ply1fermltlchr  22382  evls1sca  22393  evl1vsd  22414  evl1scvarpw  22433  evl1gsummon  22435  evls1fpws  22439  evls1vsca  22443  asclply1subcl  22444  evls1maplmhm  22447  cpmatacl  22783  cpmatinvcl  22784  mat2pmatbas  22793  mat2pmatghm  22797  mat2pmatmul  22798  mat2pmatlin  22802  decpmatid  22837  pmatcollpw2lem  22844  monmatcollpw  22846  pmatcollpwlem  22847  pmatcollpwscmatlem1  22856  pm2mpcl  22864  idpm2idmp  22868  mply1topmatcllem  22870  mply1topmatcl  22872  mp2pm2mplem4  22876  mp2pm2mplem5  22877  pm2mpghmlem2  22879  pm2mpghm  22883  pm2mpmhmlem1  22885  pm2mpmhmlem2  22886  monmat2matmon  22891  chpscmat  22909  chpscmatgsumbin  22911  chpscmatgsummon  22912  deg1pwle  26187  deg1pw  26188  ply1remlem  26232  fta1blem  26238  plypf1  26279  ply1lvec  33758  ressasclcl  33770  ply1asclunit  33773  coe1mon  33786  ply1coedeg  33788  deg1vr  33791  ply1degltlss  33795  gsummoncoe1fzo  33796  q1pvsca  33803  r1pvsca  33804  r1p0  33805  r1plmhm  33808  vietadeg1  33877  vietalem  33878  ply1degltdimlem  33921  irngnzply1lem  33989  extdgfialglem2  33992  algextdeglem8  34023  2sqr3minply  34079  cos9thpiminplylem6  34086  cos9thpiminply  34087  aks5lem2  42809  ply1asclzrhval  42810  ply1vr1smo  48996  ply1sclrmsm  48997  ply1mulgsumlem4  49002  ply1mulgsum  49003