Theorem ply1sca 22204

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22201	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6842	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22146	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17295	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2786	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1_oc1o 8387  Basecbs 17168  Scalarcsca 17212   mPoly cmpl 21875  PwSer₁cps1 22127  Poly₁cpl1 22129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-tset 17228  df-ple 17229  df-psr 21878  df-opsr 21882  df-psr1 22132  df-ply1 22134

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22205  ply1ascl0  22206  ply1ascl1  22207  ply10s0  22209  ply1ascl  22211  coe1pwmul  22232  ply1scl0  22243  ply1scl1  22245  ply1idvr1OLD  22248  ply1coefsupp  22250  ply1coe  22251  cply1coe0bi  22255  ply1chr  22259  gsumsmonply1  22260  gsummoncoe1  22261  lply1binomsc  22264  ply1fermltlchr  22265  evls1sca  22276  evl1vsd  22297  evl1scvarpw  22316  evl1gsummon  22318  evls1fpws  22322  evls1vsca  22326  asclply1subcl  22327  evls1maplmhm  22330  cpmatacl  22669  cpmatinvcl  22670  mat2pmatbas  22679  mat2pmatghm  22683  mat2pmatmul  22684  mat2pmatlin  22688  decpmatid  22723  pmatcollpw2lem  22730  monmatcollpw  22732  pmatcollpwlem  22733  pmatcollpwscmatlem1  22742  pm2mpcl  22750  idpm2idmp  22754  mply1topmatcllem  22756  mply1topmatcl  22758  mp2pm2mplem4  22762  mp2pm2mplem5  22763  pm2mpghmlem2  22765  pm2mpghm  22769  pm2mpmhmlem1  22771  pm2mpmhmlem2  22772  monmat2matmon  22777  chpscmat  22795  chpscmatgsumbin  22797  chpscmatgsummon  22798  deg1pwle  26073  deg1pw  26074  ply1remlem  26118  fta1blem  26124  plypf1  26165  ply1lvec  33607  ressasclcl  33619  ply1asclunit  33622  coe1mon  33635  ply1coedeg  33637  deg1vr  33640  ply1degltlss  33644  gsummoncoe1fzo  33645  q1pvsca  33652  r1pvsca  33653  r1p0  33654  r1plmhm  33658  vietadeg1  33710  vietalem  33711  ply1degltdimlem  33754  irngnzply1lem  33822  extdgfialglem2  33825  algextdeglem8  33856  2sqr3minply  33912  cos9thpiminplylem6  33919  cos9thpiminply  33920  aks5lem2  42614  ply1asclzrhval  42615  ply1vr1smo  48847  ply1sclrmsm  48848  ply1mulgsumlem4  48853  ply1mulgsum  48854