MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sca 20423
Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1sca (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca
StepHypRef Expression
1 eqid 2823 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
21psr1sca 20420 . 2 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(PwSer1𝑅)))
3 fvex 6685 . . 3 (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4 ply1lmod.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
54, 1ply1val 20364 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6 eqid 2823 . . . 4 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1𝑅))
75, 6resssca 16652 . . 3 ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
83, 7ax-mp 5 . 2 (Scalar‘(PwSer1𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
92, 8syl6eq 2874 1 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3496  cfv 6357  (class class class)co 7158  1oc1o 8097  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570   mPoly cmpl 20135  PwSer1cps1 20345  Poly1cpl1 20347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-psr 20138  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-ply1 20352
This theorem is referenced by:  ply1sca2  20424  ply10s0  20426  ply1ascl  20428  coe1pwmul  20449  ply1idvr1  20463  ply1coefsupp  20465  ply1coe  20466  cply1coe0bi  20470  gsumsmonply1  20473  gsummoncoe1  20474  lply1binomsc  20477  evls1sca  20488  evl1vsd  20509  evl1scvarpw  20528  evl1gsummon  20530  cpmatacl  21326  cpmatinvcl  21327  mat2pmatbas  21336  mat2pmatghm  21340  mat2pmatmul  21341  mat2pmatlin  21345  decpmatid  21380  pmatcollpw2lem  21387  monmatcollpw  21389  pmatcollpwlem  21390  pmatcollpwscmatlem1  21399  pm2mpcl  21407  idpm2idmp  21411  mply1topmatcllem  21413  mply1topmatcl  21415  mp2pm2mplem4  21419  mp2pm2mplem5  21420  pm2mpghmlem2  21422  pm2mpghm  21426  pm2mpmhmlem1  21428  pm2mpmhmlem2  21429  monmat2matmon  21434  chpscmat  21452  chpscmatgsumbin  21454  chpscmatgsummon  21455  deg1pwle  24715  deg1pw  24716  ply1remlem  24758  fta1blem  24764  plypf1  24804  ply1vr1smo  44442  ply1sclrmsm  44444  ply1mulgsumlem4  44450  ply1mulgsum  44451
  Copyright terms: Public domain W3C validator