Theorem ply1sca 22197

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22194	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6848	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22138	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17267	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1_oc1o 8392  Basecbs 17140  Scalarcsca 17184   mPoly cmpl 21866  PwSer₁cps1 22119  Poly₁cpl1 22121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-tset 17200  df-ple 17201  df-psr 21869  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-ply1 22126

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22198  ply1ascl0  22199  ply1ascl1  22200  ply10s0  22202  ply1ascl  22204  coe1pwmul  22225  ply1scl0  22236  ply1scl1  22239  ply1idvr1OLD  22243  ply1coefsupp  22245  ply1coe  22246  cply1coe0bi  22250  ply1chr  22254  gsumsmonply1  22255  gsummoncoe1  22256  lply1binomsc  22259  ply1fermltlchr  22260  evls1sca  22271  evl1vsd  22292  evl1scvarpw  22311  evl1gsummon  22313  evls1fpws  22317  evls1vsca  22321  asclply1subcl  22322  evls1maplmhm  22325  cpmatacl  22664  cpmatinvcl  22665  mat2pmatbas  22674  mat2pmatghm  22678  mat2pmatmul  22679  mat2pmatlin  22683  decpmatid  22718  pmatcollpw2lem  22725  monmatcollpw  22727  pmatcollpwlem  22728  pmatcollpwscmatlem1  22737  pm2mpcl  22745  idpm2idmp  22749  mply1topmatcllem  22751  mply1topmatcl  22753  mp2pm2mplem4  22757  mp2pm2mplem5  22758  pm2mpghmlem2  22760  pm2mpghm  22764  pm2mpmhmlem1  22766  pm2mpmhmlem2  22767  monmat2matmon  22772  chpscmat  22790  chpscmatgsumbin  22792  chpscmatgsummon  22793  deg1pwle  26085  deg1pw  26086  ply1remlem  26130  fta1blem  26136  plypf1  26177  ply1lvec  33621  ressasclcl  33633  ply1asclunit  33636  coe1mon  33649  ply1coedeg  33651  deg1vr  33654  ply1degltlss  33658  gsummoncoe1fzo  33659  q1pvsca  33666  r1pvsca  33667  r1p0  33668  r1plmhm  33672  vietadeg1  33715  vietalem  33716  ply1degltdimlem  33760  irngnzply1lem  33828  extdgfialglem2  33831  algextdeglem8  33862  2sqr3minply  33918  cos9thpiminplylem6  33925  cos9thpiminply  33926  aks5lem2  42478  ply1asclzrhval  42479  ply1vr1smo  48665  ply1sclrmsm  48666  ply1mulgsumlem4  48671  ply1mulgsum  48672