Theorem ply1sca 22570

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22567	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6898	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22512	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17514	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   mPoly cmpl 22214  PwSer₁cps1 22493  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ple 17448  df-psr 22217  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  ply1sca2  22571  ply1ascl0  22572  ply1ascl1  22573  ply10s0  22575  ply1ascl  22577  coe1pwmul  22598  ply1scl0  22609  ply1scl1  22611  ply1coefsupp  22615  ply1coe  22616  cply1coe0bi  22620  ply1chr  22624  gsumsmonply1  22625  gsummoncoe1  22626  lply1binomsc  22629  ply1fermltlchr  22630  evls1sca  22641  evl1vsd  22662  evl1scvarpw  22681  evl1gsummon  22683  evls1fpws  22687  evls1vsca  22691  asclply1subcl  22692  evls1maplmhm  22695  cpmatacl  23034  cpmatinvcl  23035  mat2pmatbas  23044  mat2pmatghm  23048  mat2pmatmul  23049  mat2pmatlin  23053  decpmatid  23088  pmatcollpw2lem  23095  monmatcollpw  23097  pmatcollpwlem  23098  pmatcollpwscmatlem1  23107  pm2mpcl  23115  idpm2idmp  23119  mply1topmatcllem  23121  mply1topmatcl  23123  mp2pm2mplem4  23127  mp2pm2mplem5  23128  pm2mpghmlem2  23130  pm2mpghm  23134  pm2mpmhmlem1  23136  pm2mpmhmlem2  23137  monmat2matmon  23142  chpscmat  23160  chpscmatgsumbin  23162  chpscmatgsummon  23163  deg1pwle  26438  deg1pw  26439  ply1remlem  26483  fta1blem  26489  plypf1  26531  ply1lvec  34133  ressasclcl  34145  ply1asclunit  34148  coe1mon  34161  ply1coedeg  34163  deg1vr  34166  ply1degltlss  34170  gsummoncoe1fzo  34171  q1pvsca  34178  r1pvsca  34179  r1p0  34180  r1plmhm  34183  vietadeg1  34252  vietalem  34253  ply1degltdimlem  34296  irngnzply1lem  34364  extdgfialglem2  34367  algextdeglem8  34398  2sqr3minply  34454  cos9thpiminplylem6  34461  cos9thpiminply  34462  aks5lem2  43280  ply1asclzrhval  43281  ply1vr1smo  49538  ply1sclrmsm  49539  ply1mulgsumlem4  49544  ply1mulgsum  49545