Theorem ply1sca 22186

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22183	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6888	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22127	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17355	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2786	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1_oc1o 8471  Basecbs 17226  Scalarcsca 17272   mPoly cmpl 21864  PwSer₁cps1 22108  Poly₁cpl1 22110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-ple 17289  df-psr 21867  df-opsr 21871  df-psr1 22113  df-ply1 22115

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22187  ply1ascl0  22188  ply1ascl1  22189  ply10s0  22191  ply1ascl  22193  coe1pwmul  22214  ply1scl0  22225  ply1scl1  22228  ply1idvr1OLD  22231  ply1coefsupp  22233  ply1coe  22234  cply1coe0bi  22238  ply1chr  22242  gsumsmonply1  22243  gsummoncoe1  22244  lply1binomsc  22247  ply1fermltlchr  22248  evls1sca  22259  evl1vsd  22280  evl1scvarpw  22299  evl1gsummon  22301  evls1fpws  22305  evls1vsca  22309  asclply1subcl  22310  evls1maplmhm  22313  cpmatacl  22652  cpmatinvcl  22653  mat2pmatbas  22662  mat2pmatghm  22666  mat2pmatmul  22667  mat2pmatlin  22671  decpmatid  22706  pmatcollpw2lem  22713  monmatcollpw  22715  pmatcollpwlem  22716  pmatcollpwscmatlem1  22725  pm2mpcl  22733  idpm2idmp  22737  mply1topmatcllem  22739  mply1topmatcl  22741  mp2pm2mplem4  22745  mp2pm2mplem5  22746  pm2mpghmlem2  22748  pm2mpghm  22752  pm2mpmhmlem1  22754  pm2mpmhmlem2  22755  monmat2matmon  22760  chpscmat  22778  chpscmatgsumbin  22780  chpscmatgsummon  22781  deg1pwle  26075  deg1pw  26076  ply1remlem  26120  fta1blem  26126  plypf1  26167  ply1lvec  33518  ressasclcl  33530  ply1asclunit  33533  coe1mon  33544  deg1vr  33548  ply1degltlss  33552  gsummoncoe1fzo  33553  q1pvsca  33559  r1pvsca  33560  r1p0  33561  r1plmhm  33565  ply1degltdimlem  33608  irngnzply1lem  33677  algextdeglem8  33704  2sqr3minply  33760  cos9thpiminplylem6  33767  cos9thpiminply  33768  aks5lem2  42146  ply1asclzrhval  42147  ply1vr1smo  48306  ply1sclrmsm  48307  ply1mulgsumlem4  48313  ply1mulgsum  48314