Theorem ply1sca 22478

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22475	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6895	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22420	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17432	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2813	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349   mPoly cmpl 22122  PwSer₁cps1 22401  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-ple 17366  df-psr 22125  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  ply1sca2  22479  ply1ascl0  22480  ply1ascl1  22481  ply10s0  22483  ply1ascl  22485  coe1pwmul  22506  ply1scl0  22517  ply1scl1  22519  ply1coefsupp  22523  ply1coe  22524  cply1coe0bi  22528  ply1chr  22532  gsumsmonply1  22533  gsummoncoe1  22534  lply1binomsc  22537  ply1fermltlchr  22538  evls1sca  22549  evl1vsd  22570  evl1scvarpw  22589  evl1gsummon  22591  evls1fpws  22595  evls1vsca  22599  asclply1subcl  22600  evls1maplmhm  22603  cpmatacl  22942  cpmatinvcl  22943  mat2pmatbas  22952  mat2pmatghm  22956  mat2pmatmul  22957  mat2pmatlin  22961  decpmatid  22996  pmatcollpw2lem  23003  monmatcollpw  23005  pmatcollpwlem  23006  pmatcollpwscmatlem1  23015  pm2mpcl  23023  idpm2idmp  23027  mply1topmatcllem  23029  mply1topmatcl  23031  mp2pm2mplem4  23035  mp2pm2mplem5  23036  pm2mpghmlem2  23038  pm2mpghm  23042  pm2mpmhmlem1  23044  pm2mpmhmlem2  23045  monmat2matmon  23050  chpscmat  23068  chpscmatgsumbin  23070  chpscmatgsummon  23071  deg1pwle  26347  deg1pw  26348  ply1remlem  26392  fta1blem  26398  plypf1  26439  ply1lvec  33956  ressasclcl  33968  ply1asclunit  33971  coe1mon  33984  ply1coedeg  33986  deg1vr  33989  ply1degltlss  33993  gsummoncoe1fzo  33994  q1pvsca  34001  r1pvsca  34002  r1p0  34003  r1plmhm  34006  vietadeg1  34075  vietalem  34076  ply1degltdimlem  34119  irngnzply1lem  34187  extdgfialglem2  34190  algextdeglem8  34221  2sqr3minply  34277  cos9thpiminplylem6  34284  cos9thpiminply  34285  aks5lem2  43040  ply1asclzrhval  43041  ply1vr1smo  49300  ply1sclrmsm  49301  ply1mulgsumlem4  49306  ply1mulgsum  49307