Theorem ply1sca 22216

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22213	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6854	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22157	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17306	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   mPoly cmpl 21886  PwSer₁cps1 22138  Poly₁cpl1 22140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-psr 21889  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-ply1 22145

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22217  ply1ascl0  22218  ply1ascl1  22219  ply10s0  22221  ply1ascl  22223  coe1pwmul  22244  ply1scl0  22255  ply1scl1  22257  ply1idvr1OLD  22260  ply1coefsupp  22262  ply1coe  22263  cply1coe0bi  22267  ply1chr  22271  gsumsmonply1  22272  gsummoncoe1  22273  lply1binomsc  22276  ply1fermltlchr  22277  evls1sca  22288  evl1vsd  22309  evl1scvarpw  22328  evl1gsummon  22330  evls1fpws  22334  evls1vsca  22338  asclply1subcl  22339  evls1maplmhm  22342  cpmatacl  22681  cpmatinvcl  22682  mat2pmatbas  22691  mat2pmatghm  22695  mat2pmatmul  22696  mat2pmatlin  22700  decpmatid  22735  pmatcollpw2lem  22742  monmatcollpw  22744  pmatcollpwlem  22745  pmatcollpwscmatlem1  22754  pm2mpcl  22762  idpm2idmp  22766  mply1topmatcllem  22768  mply1topmatcl  22770  mp2pm2mplem4  22774  mp2pm2mplem5  22775  pm2mpghmlem2  22777  pm2mpghm  22781  pm2mpmhmlem1  22783  pm2mpmhmlem2  22784  monmat2matmon  22789  chpscmat  22807  chpscmatgsumbin  22809  chpscmatgsummon  22810  deg1pwle  26085  deg1pw  26086  ply1remlem  26130  fta1blem  26136  plypf1  26177  ply1lvec  33619  ressasclcl  33631  ply1asclunit  33634  coe1mon  33647  ply1coedeg  33649  deg1vr  33652  ply1degltlss  33656  gsummoncoe1fzo  33657  q1pvsca  33664  r1pvsca  33665  r1p0  33666  r1plmhm  33670  vietadeg1  33722  vietalem  33723  ply1degltdimlem  33766  irngnzply1lem  33834  extdgfialglem2  33837  algextdeglem8  33868  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem6  33931  cos9thpiminply  33932  aks5lem2  42626  ply1asclzrhval  42627  ply1vr1smo  48853  ply1sclrmsm  48854  ply1mulgsumlem4  48859  ply1mulgsum  48860