Theorem ply1sca 22198

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22195	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6848	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22139	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17268	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1_oc1o 8393  Basecbs 17141  Scalarcsca 17185   mPoly cmpl 21867  PwSer₁cps1 22120  Poly₁cpl1 22122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-tset 17201  df-ple 17202  df-psr 21870  df-opsr 21874  df-psr1 22125  df-ply1 22127

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22199  ply1ascl0  22200  ply1ascl1  22201  ply10s0  22203  ply1ascl  22205  coe1pwmul  22226  ply1scl0  22237  ply1scl1  22240  ply1idvr1OLD  22244  ply1coefsupp  22246  ply1coe  22247  cply1coe0bi  22251  ply1chr  22255  gsumsmonply1  22256  gsummoncoe1  22257  lply1binomsc  22260  ply1fermltlchr  22261  evls1sca  22272  evl1vsd  22293  evl1scvarpw  22312  evl1gsummon  22314  evls1fpws  22318  evls1vsca  22322  asclply1subcl  22323  evls1maplmhm  22326  cpmatacl  22665  cpmatinvcl  22666  mat2pmatbas  22675  mat2pmatghm  22679  mat2pmatmul  22680  mat2pmatlin  22684  decpmatid  22719  pmatcollpw2lem  22726  monmatcollpw  22728  pmatcollpwlem  22729  pmatcollpwscmatlem1  22738  pm2mpcl  22746  idpm2idmp  22750  mply1topmatcllem  22752  mply1topmatcl  22754  mp2pm2mplem4  22758  mp2pm2mplem5  22759  pm2mpghmlem2  22761  pm2mpghm  22765  pm2mpmhmlem1  22767  pm2mpmhmlem2  22768  monmat2matmon  22773  chpscmat  22791  chpscmatgsumbin  22793  chpscmatgsummon  22794  deg1pwle  26086  deg1pw  26087  ply1remlem  26131  fta1blem  26137  plypf1  26178  ply1lvec  33644  ressasclcl  33656  ply1asclunit  33659  coe1mon  33672  ply1coedeg  33674  deg1vr  33677  ply1degltlss  33681  gsummoncoe1fzo  33682  q1pvsca  33689  r1pvsca  33690  r1p0  33691  r1plmhm  33695  vietadeg1  33747  vietalem  33748  ply1degltdimlem  33792  irngnzply1lem  33860  extdgfialglem2  33863  algextdeglem8  33894  2sqr3minply  33950  cos9thpiminplylem6  33957  cos9thpiminply  33958  aks5lem2  42520  ply1asclzrhval  42521  ply1vr1smo  48706  ply1sclrmsm  48707  ply1mulgsumlem4  48712  ply1mulgsum  48713