Theorem ply1sca 22275

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22272	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6933	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22216	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17402	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   mPoly cmpl 21949  PwSer₁cps1 22197  Poly₁cpl1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-ple 17331  df-psr 21952  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22276  ply1ascl0  22277  ply1ascl1  22278  ply10s0  22280  ply1ascl  22282  coe1pwmul  22303  ply1scl0  22314  ply1scl1  22317  ply1idvr1OLD  22320  ply1coefsupp  22322  ply1coe  22323  cply1coe0bi  22327  ply1chr  22331  gsumsmonply1  22332  gsummoncoe1  22333  lply1binomsc  22336  ply1fermltlchr  22337  evls1sca  22348  evl1vsd  22369  evl1scvarpw  22388  evl1gsummon  22390  evls1fpws  22394  evls1vsca  22398  asclply1subcl  22399  evls1maplmhm  22402  cpmatacl  22743  cpmatinvcl  22744  mat2pmatbas  22753  mat2pmatghm  22757  mat2pmatmul  22758  mat2pmatlin  22762  decpmatid  22797  pmatcollpw2lem  22804  monmatcollpw  22806  pmatcollpwlem  22807  pmatcollpwscmatlem1  22816  pm2mpcl  22824  idpm2idmp  22828  mply1topmatcllem  22830  mply1topmatcl  22832  mp2pm2mplem4  22836  mp2pm2mplem5  22837  pm2mpghmlem2  22839  pm2mpghm  22843  pm2mpmhmlem1  22845  pm2mpmhmlem2  22846  monmat2matmon  22851  chpscmat  22869  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  deg1pwle  26179  deg1pw  26180  ply1remlem  26224  fta1blem  26230  plypf1  26271  ply1lvec  33550  ressasclcl  33561  ply1asclunit  33564  coe1mon  33575  deg1vr  33579  ply1degltlss  33582  gsummoncoe1fzo  33583  q1pvsca  33589  r1pvsca  33590  r1p0  33591  r1plmhm  33595  ply1degltdimlem  33635  irngnzply1lem  33690  algextdeglem8  33715  2sqr3minply  33738  aks5lem2  42144  ply1asclzrhval  42145  ply1vr1smo  48111  ply1sclrmsm  48112  ply1mulgsumlem4  48118  ply1mulgsum  48119