Theorem ply1sca 22172

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem ply1sca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
2	1	psr1sca 22169	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)))
3		fvex 6854	. . 3 ⊢ (Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V
4		ply1lmod.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4, 1	ply1val 22113	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘(PwSer1‘𝑅))
7	5, 6	resssca 17284	. . 3 ⊢ ((Base‘(1o mPoly 𝑅)) ∈ V → (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(PwSer1‘𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
9	2, 8	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  1_oc1o 8405  Basecbs 17157  Scalarcsca 17201   mPoly cmpl 21850  PwSer₁cps1 22094  Poly₁cpl1 22096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-supp 8118  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-map 8779  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fsupp 9290  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-fz 13448  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-ple 17218  df-psr 21853  df-opsr 21857  df-psr1 22099  df-ply1 22101

This theorem is referenced by:  ply1sca2  22173  ply1ascl0  22174  ply1ascl1  22175  ply10s0  22177  ply1ascl  22179  coe1pwmul  22200  ply1scl0  22211  ply1scl1  22214  ply1idvr1OLD  22217  ply1coefsupp  22219  ply1coe  22220  cply1coe0bi  22224  ply1chr  22228  gsumsmonply1  22229  gsummoncoe1  22230  lply1binomsc  22233  ply1fermltlchr  22234  evls1sca  22245  evl1vsd  22266  evl1scvarpw  22285  evl1gsummon  22287  evls1fpws  22291  evls1vsca  22295  asclply1subcl  22296  evls1maplmhm  22299  cpmatacl  22638  cpmatinvcl  22639  mat2pmatbas  22648  mat2pmatghm  22652  mat2pmatmul  22653  mat2pmatlin  22657  decpmatid  22692  pmatcollpw2lem  22699  monmatcollpw  22701  pmatcollpwlem  22702  pmatcollpwscmatlem1  22711  pm2mpcl  22719  idpm2idmp  22723  mply1topmatcllem  22725  mply1topmatcl  22727  mp2pm2mplem4  22731  mp2pm2mplem5  22732  pm2mpghmlem2  22734  pm2mpghm  22738  pm2mpmhmlem1  22740  pm2mpmhmlem2  22741  monmat2matmon  22746  chpscmat  22764  chpscmatgsumbin  22766  chpscmatgsummon  22767  deg1pwle  26060  deg1pw  26061  ply1remlem  26105  fta1blem  26111  plypf1  26152  ply1lvec  33523  ressasclcl  33535  ply1asclunit  33538  coe1mon  33549  deg1vr  33553  ply1degltlss  33557  gsummoncoe1fzo  33558  q1pvsca  33564  r1pvsca  33565  r1p0  33566  r1plmhm  33570  ply1degltdimlem  33613  irngnzply1lem  33680  algextdeglem8  33709  2sqr3minply  33765  cos9thpiminplylem6  33772  cos9thpiminply  33773  aks5lem2  42170  ply1asclzrhval  42171  ply1vr1smo  48366  ply1sclrmsm  48367  ply1mulgsumlem4  48373  ply1mulgsum  48374