MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulval 21982
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m · = (.r𝑅)
psrmulr.t = (.r𝑆)
psrmulr.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i (𝜑𝐹𝐵)
psrmulfval.r (𝜑𝐺𝐵)
psrmulval.r (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
psrmulval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐵(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑦,,𝑘)   (𝑦,,𝑘)   · (𝑦,)   𝐹(𝑦,)   𝐺(𝑦,)   𝑋()

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrmulr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 psrmulr.m . . . 4 · = (.r𝑅)
4 psrmulr.t . . . 4 = (.r𝑆)
5 psrmulr.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 psrmulfval.i . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 psrmulfval.r . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 21981 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘)))))))
98fveq1d 6909 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘))))))‘𝑋))
10 psrmulval.r . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
11 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦r𝑥𝑦r𝑋))
1211rabbidv 3441 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → {𝑦𝐷𝑦r𝑥} = {𝑦𝐷𝑦r𝑋})
13 fvoveq1 7454 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥f𝑘)) = (𝐺‘(𝑋f𝑘)))
1413oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘))) = ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))
1512, 14mpteq12dv 5239 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘)))))
1615oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))))
17 eqid 2735 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘))))))
18 ovex 7464 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 7016 . . 3 (𝑋𝐷 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))))
2010, 19syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥f𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))))
219, 20eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋f𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8865  Fincfn 8984  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487   mPwSer cmps 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-psr 21947
This theorem is referenced by:  psrlidm  22000  psrridm  22001  psrass1  22002  mplsubrglem  22042  psdmul  22188
  Copyright terms: Public domain W3C validator