Theorem psrmulval 21900

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
psrmulval.r	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrmulval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ℎ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrmulval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
5		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrmulfval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		psrmulfval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrmulfval 21899	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
9	8	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋))
10		psrmulval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
11		breq2 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋))
12	11	rabbidv 3406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋})
13		fvoveq1 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))
14	13	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))
15	12, 14	mpteq12dv 5185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))))
16	15	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))
18		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6941	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
20	10, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
21	9, 20	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ∘_r cofr 7621   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178   Σ_g cgsu 17360   mPwSer cmps 21860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-psr 21865

This theorem is referenced by:  psrlidm  21917  psrridm  21918  psrass1  21919  mplsubrglem  21959  psdmul  22109