Theorem psrmulval 22257

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
psrmulval.r	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrmulval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ℎ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, ℎ)   𝐵(𝑦, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦, ℎ)   𝑆(𝑦, ℎ, 𝑘)   ∙ (𝑦, ℎ, 𝑘)   · (𝑦, ℎ)   𝐹(𝑦, ℎ)   𝐺(𝑦, ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrmulval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
5		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrmulfval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		psrmulfval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrmulfval 22256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
9	8	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋))
10		psrmulval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
11		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋))
12	11	rabbidv 3419	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋})
13		fvoveq1 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))
14	13	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))
15	12, 14	mpteq12dv 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))))
16	15	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))
18		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
20	10, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
21	9, 20	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ∘_r cofr 7692   ↑_m cmap 8850  Fincfn 8976   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434   Σ_g cgsu 17616   mPwSer cmps 22217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-tset 17452  df-psr 22222

This theorem is used by:  psrlidm  22274  psrridm  22275  psrass1  22276  mplsubrglem  22316  psdmul  22492