Theorem psrmulval 21504

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
psrmulval.r	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrmulval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ℎ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrmulval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
5		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrmulfval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		psrmulfval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrmulfval 21503	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
9	8	fveq1d 6893	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋))
10		psrmulval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
11		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋))
12	11	rabbidv 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋})
13		fvoveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))
14	13	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))
15	12, 14	mpteq12dv 5239	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))))
16	15	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
17		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))
18		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
20	10, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
21	9, 20	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7667   ∘_r cofr 7668   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938   ≤ cle 11248   − cmin 11443  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197   Σ_g cgsu 17385   mPwSer cmps 21456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-psr 21461

This theorem is referenced by:  psrlidm  21522  psrridm  21523  psrass1  21524  mplsubrglem  21562