![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > psrmulval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
psrmulr.s | โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) |
psrmulr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
psrmulr.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
psrmulr.t | โข โ = (.rโ๐) |
psrmulr.d | โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} |
psrmulfval.i | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
psrmulfval.r | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
psrmulval.r | โข (๐ โ ๐ โ ๐ท) |
Ref | Expression |
---|---|
psrmulval | โข (๐ โ ((๐น โ ๐บ)โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | psrmulr.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) | |
2 | psrmulr.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
3 | psrmulr.m | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
4 | psrmulr.t | . . . 4 โข โ = (.rโ๐) | |
5 | psrmulr.d | . . . 4 โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} | |
6 | psrmulfval.i | . . . 4 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
7 | psrmulfval.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | psrmulfval 21846 | . . 3 โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ฅ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐))))))) |
9 | 8 | fveq1d 6887 | . 2 โข (๐ โ ((๐น โ ๐บ)โ๐) = ((๐ฅ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐))))))โ๐)) |
10 | psrmulval.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ท) | |
11 | breq2 5145 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฆ โr โค ๐ฅ โ ๐ฆ โr โค ๐)) | |
12 | 11 | rabbidv 3434 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = ๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} = {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐}) |
13 | fvoveq1 7428 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐)) = (๐บโ(๐ โf โ ๐))) | |
14 | 13 | oveq2d 7421 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐))) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐)))) |
15 | 12, 14 | mpteq12dv 5232 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐)))) = (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐))))) |
16 | 15 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐)))))) |
17 | eqid 2726 | . . . 4 โข (๐ฅ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐)))))) = (๐ฅ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐)))))) | |
18 | ovex 7438 | . . . 4 โข (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐))))) โ V | |
19 | 16, 17, 18 | fvmpt 6992 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ ((๐ฅ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐))))))โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐)))))) |
20 | 10, 19 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐ฅ} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ฅ โf โ ๐))))))โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐)))))) |
21 | 9, 20 | eqtrd 2766 | 1 โข (๐ โ ((๐น โ ๐บ)โ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3426 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 โกccnv 5668 โ cima 5672 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โf cof 7665 โr cofr 7666 โm cmap 8822 Fincfn 8941 โค cle 11253 โ cmin 11448 โcn 12216 โ0cn0 12476 Basecbs 17153 .rcmulr 17207 ฮฃg cgsu 17395 mPwSer cmps 21798 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-struct 17089 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-tset 17225 df-psr 21803 |
This theorem is referenced by: psrlidm 21865 psrridm 21866 psrass1 21867 mplsubrglem 21905 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |