Theorem psrmulval 21354

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
psrmulval.r	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrmulval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ℎ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrmulval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
5		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		psrmulfval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		psrmulfval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrmulfval 21353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))))
9	8	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋))
10		psrmulval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
11		breq2 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋))
12	11	rabbidv 3415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋})
13		fvoveq1 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)) = (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))
14	13	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))
15	12, 14	mpteq12dv 5196	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘)))))
16	15	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘)))))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))
18		ovex 7390	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6948	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
20	10, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑥} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑥 ∘f − 𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))
21	9, 20	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∙ 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑋} ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝐺‘(𝑋 ∘f − 𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632   “ cima 5636  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134   Σ_g cgsu 17322   mPwSer cmps 21306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-tset 17152  df-psr 21311

This theorem is referenced by:  psrlidm  21372  psrridm  21373  psrass1  21374  mplsubrglem  21410