![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > psrmulfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
psrmulr.s | โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) |
psrmulr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
psrmulr.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
psrmulr.t | โข โ = (.rโ๐) |
psrmulr.d | โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} |
psrmulfval.i | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
psrmulfval.r | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
psrmulfval | โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | psrmulfval.i | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
2 | psrmulfval.r | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
3 | fveq1 6884 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐น โ (๐โ๐ฅ) = (๐นโ๐ฅ)) | |
4 | fveq1 6884 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐บ โ (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ)) = (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))) | |
5 | 3, 4 | oveqan12d 7424 | . . . . . 6 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ))) = ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ)))) |
6 | 5 | mpteq2dv 5243 | . . . . 5 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ)))) = (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))) |
7 | 6 | oveq2d 7421 | . . . 4 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ))))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ)))))) |
8 | 7 | mpteq2dv 5243 | . . 3 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ)))))) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
9 | psrmulr.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) | |
10 | psrmulr.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
11 | psrmulr.m | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
12 | psrmulr.t | . . . 4 โข โ = (.rโ๐) | |
13 | psrmulr.d | . . . 4 โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} | |
14 | 9, 10, 11, 12, 13 | psrmulr 21845 | . . 3 โข โ = (๐ โ ๐ต, ๐ โ ๐ต โฆ (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
15 | ovex 7438 | . . . . 5 โข (โ0 โm ๐ผ) โ V | |
16 | 13, 15 | rabex2 5327 | . . . 4 โข ๐ท โ V |
17 | 16 | mptex 7220 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ)))))) โ V |
18 | 8, 14, 17 | ovmpoa 7559 | . 2 โข ((๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ต) โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
19 | 1, 2, 18 | syl2anc 583 | 1 โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3426 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 โกccnv 5668 โ cima 5672 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โf cof 7665 โr cofr 7666 โm cmap 8822 Fincfn 8941 โค cle 11253 โ cmin 11448 โcn 12216 โ0cn0 12476 Basecbs 17153 .rcmulr 17207 ฮฃg cgsu 17395 mPwSer cmps 21798 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-struct 17089 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-tset 17225 df-psr 21803 |
This theorem is referenced by: psrmulval 21847 psrmulcllem 21848 psrdi 21868 psrdir 21869 psrass23l 21870 psrcom 21871 psrass23 21872 resspsrmul 21879 mplmul 21912 psropprmul 22111 coe1mul2 22143 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |