Theorem psrmulfval 21859

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrmulfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑦,𝑘,𝐷,𝑥   ℎ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)

Proof of Theorem psrmulfval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulfval.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		psrmulfval.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		fveq1 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4		fveq1 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
5	3, 4	oveqan12d 7409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 5204	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
7	6	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
8	7	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
9		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
13		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
14	9, 10, 11, 12, 13	psrmulr 21858	. . 3 ⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
15		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	13, 15	rabex2 5299	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	mptex 7200	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) ∈ V
18	8, 14, 17	ovmpoa 7547	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
19	1, 2, 18	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654   ∘_r cofr 7655   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228   Σ_g cgsu 17410   mPwSer cmps 21820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-psr 21825

This theorem is referenced by:  psrmulval  21860  psrmulcllem  21861  psrdi  21881  psrdir  21882  psrass23l  21883  psrcom  21884  psrass23  21885  resspsrmul  21892  mplmul  21927  psropprmul  22129  coe1mul2  22162  rhmcomulpsr  42546