MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulfval 21981
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m · = (.r𝑅)
psrmulr.t = (.r𝑆)
psrmulr.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i (𝜑𝐹𝐵)
psrmulfval.r (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrmulfval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑦,𝑘,𝐷,𝑥   ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐵(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑥,𝑦,,𝑘)   (𝑥,𝑦,,𝑘)   · (𝑦,)   𝐹(𝑦,)   𝐺(𝑦,)

Proof of Theorem psrmulfval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulfval.i . 2 (𝜑𝐹𝐵)
2 psrmulfval.r . 2 (𝜑𝐺𝐵)
3 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
4 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘(𝑘f𝑥)) = (𝐺‘(𝑘f𝑥)))
53, 4oveqan12d 7450 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘f𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥))))
65mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))
76oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥))))))
87mpteq2dv 5250 . . 3 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))))
9 psrmulr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 psrmulr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
11 psrmulr.m . . . 4 · = (.r𝑅)
12 psrmulr.t . . . 4 = (.r𝑆)
13 psrmulr.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
149, 10, 11, 12, 13psrmulr 21980 . . 3 = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘f𝑥)))))))
15 ovex 7464 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1613, 15rabex2 5347 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716mptex 7243 . . 3 (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ V
188, 14, 17ovmpoa 7588 . 2 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))))
191, 2, 18syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺‘(𝑘f𝑥)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8865  Fincfn 8984  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487   mPwSer cmps 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-psr 21947
This theorem is referenced by:  psrmulval  21982  psrmulcllem  21983  psrdi  22003  psrdir  22004  psrass23l  22005  psrcom  22006  psrass23  22007  resspsrmul  22014  mplmul  22049  psropprmul  22255  coe1mul2  22288  rhmcomulpsr  42538
  Copyright terms: Public domain W3C validator