![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > psrmulfval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
psrmulr.s | โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) |
psrmulr.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
psrmulr.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
psrmulr.t | โข โ = (.rโ๐) |
psrmulr.d | โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} |
psrmulfval.i | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
psrmulfval.r | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
psrmulfval | โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | psrmulfval.i | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
2 | psrmulfval.r | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
3 | fveq1 6842 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐น โ (๐โ๐ฅ) = (๐นโ๐ฅ)) | |
4 | fveq1 6842 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐บ โ (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ)) = (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))) | |
5 | 3, 4 | oveqan12d 7377 | . . . . . 6 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ))) = ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ)))) |
6 | 5 | mpteq2dv 5208 | . . . . 5 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ)))) = (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))) |
7 | 6 | oveq2d 7374 | . . . 4 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ))))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ)))))) |
8 | 7 | mpteq2dv 5208 | . . 3 โข ((๐ = ๐น โง ๐ = ๐บ) โ (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ)))))) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
9 | psrmulr.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) | |
10 | psrmulr.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
11 | psrmulr.m | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
12 | psrmulr.t | . . . 4 โข โ = (.rโ๐) | |
13 | psrmulr.d | . . . 4 โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} | |
14 | 9, 10, 11, 12, 13 | psrmulr 21368 | . . 3 โข โ = (๐ โ ๐ต, ๐ โ ๐ต โฆ (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐โ๐ฅ) ยท (๐โ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
15 | ovex 7391 | . . . . 5 โข (โ0 โm ๐ผ) โ V | |
16 | 13, 15 | rabex2 5292 | . . . 4 โข ๐ท โ V |
17 | 16 | mptex 7174 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ)))))) โ V |
18 | 8, 14, 17 | ovmpoa 7511 | . 2 โข ((๐น โ ๐ต โง ๐บ โ ๐ต) โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
19 | 1, 2, 18 | syl2anc 585 | 1 โข (๐ โ (๐น โ ๐บ) = (๐ โ ๐ท โฆ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ {๐ฆ โ ๐ท โฃ ๐ฆ โr โค ๐} โฆ ((๐นโ๐ฅ) ยท (๐บโ(๐ โf โ ๐ฅ))))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 {crab 3406 class class class wbr 5106 โฆ cmpt 5189 โกccnv 5633 โ cima 5637 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โf cof 7616 โr cofr 7617 โm cmap 8768 Fincfn 8886 โค cle 11195 โ cmin 11390 โcn 12158 โ0cn0 12418 Basecbs 17088 .rcmulr 17139 ฮฃg cgsu 17327 mPwSer cmps 21322 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7618 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-supp 8094 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-1o 8413 df-er 8651 df-map 8770 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fsupp 9309 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-n0 12419 df-z 12505 df-uz 12769 df-fz 13431 df-struct 17024 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-plusg 17151 df-mulr 17152 df-sca 17154 df-vsca 17155 df-tset 17157 df-psr 21327 |
This theorem is referenced by: psrmulval 21370 psrmulcllem 21371 psrdi 21391 psrdir 21392 psrass23l 21393 psrcom 21394 psrass23 21395 resspsrmul 21402 mplmul 21431 psropprmul 21625 coe1mul2 21656 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |