Theorem psrmulfval 21908

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
psrmulfval.r	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrmulfval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑦,𝑘,𝐷,𝑥   ℎ,𝑘,𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑥   · ,𝑘,𝑥   𝑅,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑥,𝑦,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)   𝐹(𝑦,ℎ)   𝐺(𝑦,ℎ)

Proof of Theorem psrmulfval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulfval.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		psrmulfval.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) = (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))
5	3, 4	oveqan12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
6	5	mpteq2dv 5220	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
7	6	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
8	7	mpteq2dv 5220	. . 3 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
9		psrmulr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		psrmulr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11		psrmulr.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		psrmulr.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
13		psrmulr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
14	9, 10, 11, 12, 13	psrmulr 21907	. . 3 ⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
15		ovex 7443	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	13, 15	rabex2 5316	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	mptex 7220	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) ∈ V
18	8, 14, 17	ovmpoa 7567	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
19	1, 2, 18	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674   ∘_r cofr 7675   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277   Σ_g cgsu 17459   mPwSer cmps 21869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-psr 21874

This theorem is referenced by:  psrmulval  21909  psrmulcllem  21910  psrdi  21930  psrdir  21931  psrass23l  21932  psrcom  21933  psrass23  21934  resspsrmul  21941  mplmul  21976  psropprmul  22178  coe1mul2  22211  rhmcomulpsr  42541