Theorem pwssnf1o 16470

Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssnf1o.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
pwssnf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssnf1o	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssnf1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6423	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		simpr 478	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwssnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
5	4	mapsnf1o 8187	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
6	2, 3, 5	sylancr 582	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
7		snex 5097	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
8		pwssnf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
9	8, 1	pwsbas 16459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
10	7, 9	mpan2 683	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
11	10	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
12		pwssnf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)
13	11, 12	syl6reqr 2850	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐶 = (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
14		f1oeq3 6345	. . 3 ⊢ (𝐶 = (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼})))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼})))
16	6, 15	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3383  {csn 4366   ↦ cmpt 4920   × cxp 5308  –1-1-onto→wf1o 6098  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876   ↑_𝑚 cmap 8093  Basecbs 16181   ↑_s cpws 16419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-prds 16420  df-pws 16422

This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  38435