Theorem pwssnf1o 17450

Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssnf1o.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
pwssnf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssnf1o	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssnf1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6898	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwssnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
5	4	mapsnf1o 8932	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m {𝐼}))
6	2, 3, 5	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m {𝐼}))
7		pwssnf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)
8		snex 5424	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
9		pwssnf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
10	9, 1	pwsbas 17439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵 ↑m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
11	8, 10	mpan2 688	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
13	7, 12	eqtr4id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐶 = (𝐵 ↑m {𝐼}))
14	13	f1oeq3d 6823	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m {𝐼})))
15	6, 14	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8819  Basecbs 17150   ↑_s cpws 17398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-prds 17399  df-pws 17401

This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  42394