MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssnf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssnf1o 16750
Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssnf1o.y 𝑌 = (𝑅s {𝐼})
pwssnf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwssnf1o ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o
StepHypRef Expression
1 pwssnf1o.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
21fvexi 6660 . . 3 𝐵 ∈ V
3 simpr 487 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
4 pwssnf1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
54mapsnf1o 8481 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵m {𝐼}))
62, 3, 5sylancr 589 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵m {𝐼}))
7 snex 5308 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
8 pwssnf1o.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s {𝐼})
98, 1pwsbas 16739 . . . . . 6 ((𝑅𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
107, 9mpan2 689 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐵m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
1110adantr 483 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
12 pwssnf1o.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑌)
1311, 12syl6reqr 2874 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐶 = (𝐵m {𝐼}))
1413f1oeq3d 6588 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:𝐵1-1-onto→(𝐵m {𝐼})))
156, 14mpbird 259 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  {csn 4543  cmpt 5122   × cxp 5529  1-1-ontowf1o 6330  cfv 6331  (class class class)co 7133  m cmap 8384  Basecbs 16462  s cpws 16699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-prds 16700  df-pws 16702
This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  39829
  Copyright terms: Public domain W3C validator