Theorem pwssnf1o 17513

Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssnf1o.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
pwssnf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssnf1o	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssnf1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	fvexi 6915	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwssnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
5	4	mapsnf1o 8968	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m {𝐼}))
6	2, 3, 5	sylancr 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m {𝐼}))
7		pwssnf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)
8		snex 5437	. . . . . 6 ⊢ {𝐼} ∈ V
9		pwssnf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
10	9, 1	pwsbas 17502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵 ↑m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
11	8, 10	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
12	11	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m {𝐼}) = (Base‘𝑌))
13	7, 12	eqtr4id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐶 = (𝐵 ↑m {𝐼}))
14	13	f1oeq3d 6840	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m {𝐼})))
15	6, 14	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  {csn 4633   ↦ cmpt 5236   × cxp 5680  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  Basecbs 17213   ↑_s cpws 17461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-prds 17462  df-pws 17464

This theorem is referenced by:  pwslnmlem1  42753