Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslnmlem1 41448
Description: First powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnmlem1.y 𝑌 = (𝑊s {𝑖})
Assertion
Ref Expression
pwslnmlem1 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)
Distinct variable group:   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem pwslnmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnmlmod 41435 . . 3 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
2 vsnex 5391 . . 3 {𝑖} ∈ V
3 pwslnmlem1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s {𝑖})
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥}))
63, 4, 5pwsdiaglmhm 20534 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑖} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
71, 2, 6sylancl 587 . 2 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8 id 22 . 2 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LNoeM)
9 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
103, 4, 5, 9pwssnf1o 17387 . . . 4 ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝑖 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
1110elvd 3455 . . 3 (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
12 f1ofo 6796 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌))
13 forn 6764 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
1411, 12, 133syl 18 . 2 (𝑊 ∈ LNoeM → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
159lnmepi 41441 . 2 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌) ∧ 𝑊 ∈ LNoeM ∧ ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ LNoeM)
167, 8, 14, 15syl3anc 1372 1 (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591  cmpt 5193   × cxp 5636  ran crn 5639  ontowfo 6499  1-1-ontowf1o 6500  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  s cpws 17335  LModclmod 20338   LMHom clmhm 20496  LNoeMclnm 41431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lfig 41424  df-lnm 41432
This theorem is referenced by:  pwslnm  41450
  Copyright terms: Public domain W3C validator