Theorem pwslnmlem1 40917

Description: First powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnmlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s {𝑖})

Assertion

Ref	Expression
pwslnmlem1	⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)

Distinct variable group:   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem pwslnmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 40904	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
2		snex 5354	. . 3 ⊢ {𝑖} ∈ V
3		pwslnmlem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s {𝑖})
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥}))
6	3, 4, 5	pwsdiaglmhm 20319	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑖} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
7	1, 2, 6	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		id 22	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LNoeM)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10	3, 4, 5, 9	pwssnf1o 17209	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝑖 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
11	10	elvd 3439	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
12		f1ofo 6723	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌))
13		forn 6691	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
14	11, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
15	9	lnmepi 40910	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌) ∧ 𝑊 ∈ LNoeM ∧ ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ LNoeM)
16	7, 8, 14, 15	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ran crn 5590  –onto→wfo 6431  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↑_s cpws 17157  LModclmod 20123   LMHom clmhm 20281  LNoeMclnm 40900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lfig 40893  df-lnm 40901

This theorem is referenced by:  pwslnm  40919