Theorem pwslnmlem1 43852

Description: First powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnmlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s {𝑖})

Assertion

Ref	Expression
pwslnmlem1	⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)

Distinct variable group:   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem pwslnmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 43839	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
2		vsnex 5408	. . 3 ⊢ {𝑖} ∈ V
3		pwslnmlem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s {𝑖})
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥}))
6	3, 4, 5	pwsdiaglmhm 21208	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑖} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
7	1, 2, 6	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		id 23	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LNoeM)
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10	3, 4, 5, 9	pwssnf1o 17570	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝑖 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
11	10	elvd 3463	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
12		f1ofo 6832	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌))
13		forn 6799	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
14	11, 12, 13	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
15	9	lnmepi 43845	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌) ∧ 𝑊 ∈ LNoeM ∧ ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ LNoeM)
16	7, 8, 14, 15	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287   ↑_s cpws 17517  LModclmod 21011   LMHom clmhm 21170  LNoeMclnm 43835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-mgp 20241  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lmhm 21173  df-lfig 43828  df-lnm 43836

This theorem is used by:  pwslnm  43854