Theorem pwslnmlem1 40036

Description: First powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnmlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s {𝑖})

Assertion

Ref	Expression
pwslnmlem1	⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)

Distinct variable group:   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑖)

Proof of Theorem pwslnmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnmlmod 40023	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LMod)
2		snex 5297	. . 3 ⊢ {𝑖} ∈ V
3		pwslnmlem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s {𝑖})
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥}))
6	3, 4, 5	pwsdiaglmhm 19822	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑖} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
7	1, 2, 6	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌))
8		id 22	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑊 ∈ LNoeM)
9		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10	3, 4, 5, 9	pwssnf1o 16763	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LNoeM ∧ 𝑖 ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
11	10	elvd 3447	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌))
12		f1ofo 6597	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–1-1-onto→(Base‘𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌))
13		forn 6568	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})):(Base‘𝑊)–onto→(Base‘𝑌) → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
14	11, 12, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌))
15	9	lnmepi 40029	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) ∈ (𝑊 LMHom 𝑌) ∧ 𝑊 ∈ LNoeM ∧ ran (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ ({𝑖} × {𝑥})) = (Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ LNoeM)
16	7, 8, 14, 15	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝑊 ∈ LNoeM → 𝑌 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ran crn 5520  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↑_s cpws 16712  LModclmod 19627   LMHom clmhm 19784  LNoeMclnm 40019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lmhm 19787  df-lfig 40012  df-lnm 40020

This theorem is referenced by:  pwslnm  40038