MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit0 20906
Description: Splitting for structure powers, part 0: restriction is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit0 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit0
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 pwssplit1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3pwselbasb 17443 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋) → (𝑥𝐵𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
543adant3 1129 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑥𝐵𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
65biimpa 476 . . . 4 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊))
7 simpl3 1190 . . . 4 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑉𝑈)
86, 7fssresd 6752 . . 3 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊))
9 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊𝑇)
10 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
11 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
1210, 11ssexd 5317 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
13 pwssplit1.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
14 pwssplit1.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑍)
1513, 2, 14pwselbasb 17443 . . . . 5 ((𝑊𝑇𝑉 ∈ V) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
169, 12, 15syl2anc 583 . . . 4 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1716adantr 480 . . 3 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
188, 17mpbird 257 . 2 (((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥𝑉) ∈ 𝐶)
19 pwssplit1.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
2018, 19fmptd 7109 1 ((𝑊𝑇𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  wss 3943  cmpt 5224  cres 5671  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  s cpws 17401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402  df-pws 17404
This theorem is referenced by:  pwssplit1  20907  pwssplit2  20908  pwssplit3  20909
  Copyright terms: Public domain W3C validator