Theorem pwssplit0 21084

Description: Splitting for structure powers, part 0: restriction is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit0	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		pwssplit1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4	1, 2, 3	pwselbasb 17544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
5	4	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊)))
6	5	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝑈⟶(Base‘𝑊))
7		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
8	6, 7	fssresd 6783	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ↾ 𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊))
9		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ 𝑇)
10		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
11		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
12	10, 11	ssexd 5333	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
13		pwssplit1.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
14		pwssplit1.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
15	13, 2, 14	pwselbasb 17544	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑉 ∈ V) → ((𝑥 ↾ 𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ↾ 𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
16	9, 12, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ↾ 𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ↾ 𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ↾ 𝑉) ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ↾ 𝑉):𝑉⟶(Base‘𝑊)))
18	8, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ↾ 𝑉) ∈ 𝐶)
19		pwssplit1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
20	18, 19	fmptd 7141	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑇 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3481   ⊆ wss 3966   ↦ cmpt 5234   ↾ cres 5695  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254   ↑_s cpws 17502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-ixp 8946  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-ip 17325  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-hom 17331  df-cco 17332  df-prds 17503  df-pws 17505

This theorem is referenced by:  pwssplit1  21085  pwssplit2  21086  pwssplit3  21087