Theorem pwselbasb 16463

Description: Membership in the base set of a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwselbasb	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))

Proof of Theorem pwselbasb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsbas.f	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	pwsbas 16462	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
4		pwselbas.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
5	3, 4	syl6eqr 2851	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝐵 ↑𝑚 𝐼) = 𝑉)
6	5	eleq2d 2864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋 ∈ 𝑉))
7	2	fvexi 6425	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
8		elmapg 8108	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
9	7, 8	mpan 682	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
10	9	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
11	6, 10	bitr3d 273	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   ↑_𝑚 cmap 8095  Basecbs 16184   ↑_s cpws 16422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-prds 16423  df-pws 16425

This theorem is referenced by:  pwselbas  16464  pwsdiagel  16472  pwsco1mhm  17685  pwsco2mhm  17686  pwssplit0  19379  pwssplit1  19380  evlsval2  19842  pf1addcl  20039  pf1mulcl  20040  plypf1  24309  pwssplit4  38444