Theorem cshwshash 17287

Description: If a word has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word or 1. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwshash	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤, 𝑛)

Proof of Theorem cshwshash

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswsymballbi 14935	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
3		prmnn 16854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 12389	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → 1 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdsymb1 14701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
6	4, 5	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
8	3	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
10		cshwrepswhash1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
11	10	cshwrepswhash1 17285	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑀) = 1)
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑀) = 1)
13	12	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑀) = 1))
14	2, 13	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = 1))
15		olc 882	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) = 1 → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))
16	14, 15	syl6com 38	. 2 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1)))
17		rexnal 3114	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
18		df-ne 2956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
19	18	bicomi 227	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
20	19	rexbii 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
21	17, 20	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
22	10	cshwshashnsame 17286	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))
23		orc 881	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))
24	22, 23	syl6com 38	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1)))
25	21, 24	sylbi 220	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1)))
26	16, 25	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661   repeatS creps 14923   cyclShift ccsh 14943  ℙcprime 16851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-reps 14924  df-csh 14944  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-phi 16948

This theorem is used by:  hashecclwwlkn1  30673