Theorem cshwshash 16796

Description: If a word has a length being a prime number, the size of the set of (different!) words resulting by cyclically shifting the original word equals the length of the original word or 1. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwrepswhash1.m	⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}

Assertion

Ref	Expression
cshwshash	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem cshwshash

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswsymballbi 14483	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
3		prmnn 16369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 12013	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℙ → 1 ≤ (♯‘𝑊))
5		wrdsymb1 14246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
8	3	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
10		cshwrepswhash1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ∃𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊 cyclShift 𝑛) = 𝑤}
11	10	cshwrepswhash1 16794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑀) = 1)
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑀) = 1)
13	12	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑀) = 1))
14	2, 13	sylbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = 1))
15		olc 865	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑀) = 1 → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))
16	14, 15	syl6com 37	. 2 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1)))
17		rexnal 3168	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
18		df-ne 2946	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
19	18	bicomi 223	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
20	19	rexbii 3180	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ¬ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
21	17, 20	bitr3i 276	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0))
22	10	cshwshashnsame 16795	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → (♯‘𝑀) = (♯‘𝑊)))
23		orc 864	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))
24	22, 23	syl6com 37	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1)))
25	21, 24	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1)))
26	16, 25	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((♯‘𝑀) = (♯‘𝑊) ∨ (♯‘𝑀) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  {crab 3070   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10864  1c1 10865   ≤ cle 11003  ℕcn 11965  ..^cfzo 13373  ♯chash 14034  Word cword 14207   repeatS creps 14471   cyclShift ccsh 14491  ℙcprime 16366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-oadd 8286  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-sup 9171  df-inf 9172  df-oi 9239  df-dju 9652  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-n0 12226  df-xnn0 12298  df-z 12312  df-uz 12574  df-rp 12722  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-fl 13502  df-mod 13580  df-seq 13712  df-exp 13773  df-hash 14035  df-word 14208  df-concat 14264  df-substr 14344  df-pfx 14374  df-reps 14472  df-csh 14492  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-clim 15187  df-sum 15388  df-dvds 15954  df-gcd 16192  df-prm 16367  df-phi 16457

This theorem is referenced by:  hashecclwwlkn1  28429