MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsidrepsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsidrepsw 17131
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number by a number of positions which is not divisible by the prime number results in the word itself, the word is a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwsidrepsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsidrepsw
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
21adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
3 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝐿 ∈ ℤ)
43adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
5 simpr2 1196 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0)
62, 4, 53jca 1129 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
76adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9 modprmn0modprm0 16845 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0))
107, 8, 9sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0)
11 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
1211oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) = (𝑖 + (𝑗 · 𝐿)))
1312fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
1413eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑊𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1615, 3anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ))
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ))
19 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)
2019anim1i 615 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
22 cshweqrep 14859 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
2318, 21, 22sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
24 elfzonn0 13747 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2524ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2614, 23, 25rspcdva 3623 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
27 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
2928adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
3026, 29eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
3130ex 412 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3231rexlimiva 3147 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3310, 32mpcom 38 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
3433ralrimiva 3146 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
35 repswsymballbi 14818 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3635ad2antrr 726 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
3734, 36mpbird 257 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
3837ex 412 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  chash 14369  Word cword 14552   repeatS creps 14806   cyclShift ccsh 14826  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-reps 14807  df-csh 14827  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803
This theorem is referenced by:  cshwsidrepswmod0  17132
  Copyright terms: Public domain W3C validator