MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsidrepsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsidrepsw 17032
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number by a number of positions which is not divisible by the prime number results in the word itself, the word is a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwsidrepsw ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))

Proof of Theorem cshwsidrepsw
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™)
21adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™)
3 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
43adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
5 simpr2 1194 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0)
62, 4, 53jca 1127 . . . . . . 7 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0))
76adantr 480 . . . . . 6 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
9 modprmn0modprm0 16745 . . . . . 6 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0) โ†’ (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0))
107, 8, 9sylc 65 . . . . 5 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0)
11 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ ยท ๐ฟ) = (๐‘— ยท ๐ฟ))
1211oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) = (๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)))
1312fvoveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
1413eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰)
1615, 3anim12i 612 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
19 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)
2019anim1i 614 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
22 cshweqrep 14776 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
2318, 21, 22sylc 65 . . . . . . . . 9 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
24 elfzonn0 13682 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2614, 23, 25rspcdva 3614 . . . . . . . 8 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
27 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0 โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
2827adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
2928adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
3026, 29eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
3130ex 412 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3231rexlimiva 3146 . . . . 5 (โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0 โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3310, 32mpcom 38 . . . 4 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
3433ralrimiva 3145 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
35 repswsymballbi 14735 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ (๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3635ad2antrr 723 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3734, 36mpbird 256 . 2 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
3837ex 412 1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113   + caddc 11116   ยท cmul 11118  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  ..^cfzo 13632   mod cmo 13839  โ™ฏchash 14295  Word cword 14469   repeatS creps 14723   cyclShift ccsh 14743  โ„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-reps 14724  df-csh 14744  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16704
This theorem is referenced by:  cshwsidrepswmod0  17033
  Copyright terms: Public domain W3C validator