Theorem cshwsidrepsw 17286

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number by a number of positions which is not divisible by the prime number results in the word itself, the word is a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsidrepsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsidrepsw

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
2	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
3		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
5		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0)
6	2, 4, 5	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9		modprmn0modprm0 17000	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0))
10	7, 8, 9	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0)
11		oveq1 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
12	11	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) = (𝑖 + (𝑗 · 𝐿)))
13	12	fvoveq1d 7452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
14	13	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
15		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15, 3	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)
20	19	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
22		cshweqrep 14986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
23	18, 21, 22	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
24		elfzonn0 13855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26	14, 23, 25	rspcdva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
27		fveq2 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
28	27	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
30	26, 29	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
31	30	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
32	31	rexlimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
33	10, 32	mpcom 39	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
34	33	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
35		repswsymballbi 14945	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
36	35	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
37	34, 36	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
38	37	ex 418	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  0cc0 11213   + caddc 11216   · cmul 11218  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ..^cfzo 13801   mod cmo 14022  ♯chash 14487  Word cword 14671   repeatS creps 14933   cyclShift ccsh 14953  ℙcprime 16861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-reps 14934  df-csh 14954  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-prm 16862  df-phi 16958

This theorem is used by:  cshwsidrepswmod0  17287