Theorem cshwsidrepsw 16281

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number by a number of positions which is not divisible by the prime number results in the word itself, the word is a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsidrepsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsidrepsw

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
2	1	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
3		simp1 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
5		simpr2 1176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0)
6	2, 4, 5	3jca 1109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
7	6	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
8		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9		modprmn0modprm0 15998	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0))
10	7, 8, 9	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0)
11		oveq1 6981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
12	11	oveq2d 6990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) = (𝑖 + (𝑗 · 𝐿)))
13	12	fvoveq1d 6996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
14	13	eqeq2d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
15		simpl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15, 3	anim12i 604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
17	16	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
18	17	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19		simpr3 1177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)
20	19	anim1i 606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
22		cshweqrep 14043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
23	18, 21, 22	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
24		elfzonn0 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	24	ad2antrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26	14, 23, 25	rspcdva 3534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
27		fveq2 6496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
28	27	adantl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
29	28	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
30	26, 29	eqtrd 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
31	30	ex 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
32	31	rexlimiva 3219	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
33	10, 32	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
34	33	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
35		repswsymballbi 13997	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
36	35	ad2antrr 714	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
37	34, 36	mpbird 249	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
38	37	ex 405	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3082  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333   + caddc 10336   · cmul 10338  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  ..^cfzo 12847   mod cmo 13050  ♯chash 13503  Word cword 13670   repeatS creps 13985   cyclShift ccsh 14005  ℙcprime 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-substr 13802  df-pfx 13851  df-reps 13986  df-csh 14007  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-prm 15870  df-phi 15957

This theorem is referenced by:  cshwsidrepswmod0  16282