Theorem cshwsidrepsw 17031

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number by a number of positions which is not divisible by the prime number results in the word itself, the word is a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsidrepsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsidrepsw

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
2	1	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℙ)
3		simp1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
5		simpr2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0)
6	2, 4, 5	3jca 1126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
7	6	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0))
8		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9		modprmn0modprm0 16744	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℙ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0))
10	7, 8, 9	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0)
11		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 · 𝐿) = (𝑗 · 𝐿))
12	11	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) = (𝑖 + (𝑗 · 𝐿)))
13	12	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
14	13	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
15		simpl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15, 3	anim12i 611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
17	16	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
18	17	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
19		simpr3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)
20	19	anim1i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
21	20	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
22		cshweqrep 14775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)))))
23	18, 21, 22	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑘 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
24		elfzonn0 13681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	24	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26	14, 23, 25	rspcdva 3612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))))
27		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
28	27	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
29	28	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
30	26, 29	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) ∧ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
31	30	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0) → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
32	31	rexlimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑖 + (𝑗 · 𝐿)) mod (♯‘𝑊)) = 0 → ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
33	10, 32	mpcom 38	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
34	33	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0))
35		repswsymballbi 14734	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
36	35	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → (𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) = (𝑊‘0)))
37	34, 36	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊)) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊)))
38	37	ex 411	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 mod (♯‘𝑊)) ≠ 0 ∧ (𝑊 cyclShift 𝐿) = 𝑊) → 𝑊 = ((𝑊‘0) repeatS (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ..^cfzo 13631   mod cmo 13838  ♯chash 14294  Word cword 14468   repeatS creps 14722   cyclShift ccsh 14742  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-reps 14723  df-csh 14743  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703

This theorem is referenced by:  cshwsidrepswmod0  17032