MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsidrepsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsidrepsw 16974
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number by a number of positions which is not divisible by the prime number results in the word itself, the word is a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwsidrepsw ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))

Proof of Theorem cshwsidrepsw
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™)
21adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™)
3 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
43adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
5 simpr2 1196 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0)
62, 4, 53jca 1129 . . . . . . 7 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0))
76adantr 482 . . . . . 6 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0))
8 simpr 486 . . . . . 6 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
9 modprmn0modprm0 16687 . . . . . 6 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0) โ†’ (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0))
107, 8, 9sylc 65 . . . . 5 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0)
11 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ ยท ๐ฟ) = (๐‘— ยท ๐ฟ))
1211oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) = (๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)))
1312fvoveq1d 7383 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
1413eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰)
1615, 3anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
1817adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
19 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)
2019anim1i 616 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
22 cshweqrep 14718 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
2318, 21, 22sylc 65 . . . . . . . . 9 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘˜ ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
24 elfzonn0 13626 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
2614, 23, 25rspcdva 3584 . . . . . . . 8 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
27 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0 โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
2827adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
2928adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
3026, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โˆง (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
3130ex 414 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โˆง ((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0) โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3231rexlimiva 3141 . . . . 5 (โˆƒ๐‘— โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))((๐‘– + (๐‘— ยท ๐ฟ)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = 0 โ†’ ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3310, 32mpcom 38 . . . 4 ((((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
3433ralrimiva 3140 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
35 repswsymballbi 14677 . . . 4 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ (๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3635ad2antrr 725 . . 3 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
3734, 36mpbird 257 . 2 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โˆง (๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š)) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
3837ex 414 1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ฟ mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ‰  0 โˆง (๐‘Š cyclShift ๐ฟ) = ๐‘Š) โ†’ ๐‘Š = ((๐‘Šโ€˜0) repeatS (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  ..^cfzo 13576   mod cmo 13783  โ™ฏchash 14239  Word cword 14411   repeatS creps 14665   cyclShift ccsh 14685  โ„™cprime 16555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-reps 14666  df-csh 14686  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-prm 16556  df-phi 16646
This theorem is referenced by:  cshwsidrepswmod0  16975
  Copyright terms: Public domain W3C validator