Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmdvd 33046
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
rhmdvd.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
rhmdvd.d / = (/rβ€˜π‘†)
rhmdvd.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))))
Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1204 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 simp23 1206 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
5 rhmdvd.m . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
74, 5, 6rhmmul 20425 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1369 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
9 simp22 1205 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
104, 5, 6rhmmul 20425 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1369 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
128, 11oveq12d 7438 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))) = (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))))
13 rhmrcl2 20416 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
164, 15rhmf 20424 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
17163ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
1817, 2ffvelcdmd 7095 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 simp3l 1199 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ)
20 simp3r 1200 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
21 rhmdvd.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/rβ€˜π‘†)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 32957 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1370 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)))
2512, 24eqtr2d 2769 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  Ringcrg 20173  Unitcui 20294  /rcdvr 20339   RingHom crh 20408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-ghm 19168  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-rhm 20411
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33582  qqhghm  33589  qqhrhm  33590
  Copyright terms: Public domain W3C validator