Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmdvd 32939
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
rhmdvd.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
rhmdvd.d / = (/rβ€˜π‘†)
rhmdvd.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))))
Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1203 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 simp23 1205 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
5 rhmdvd.m . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
74, 5, 6rhmmul 20386 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
9 simp22 1204 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
104, 5, 6rhmmul 20386 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
128, 11oveq12d 7422 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))) = (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))))
13 rhmrcl2 20377 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
164, 15rhmf 20385 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
17163ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
1817, 2ffvelcdmd 7080 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 simp3l 1198 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ)
20 simp3r 1199 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
21 rhmdvd.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/rβ€˜π‘†)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 32887 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1369 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)))
2512, 24eqtr2d 2767 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  Ringcrg 20136  Unitcui 20255  /rcdvr 20300   RingHom crh 20369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19137  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-rhm 20372
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33491  qqhghm  33498  qqhrhm  33499
  Copyright terms: Public domain W3C validator