Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvd 33328
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u 𝑈 = (Unit‘𝑆)
rhmdvd.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvd.d / = (/r𝑆)
rhmdvd.m · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1205 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 simp23 1207 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐶𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
5 rhmdvd.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2735 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
74, 5, 6rhmmul 20503 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1370 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
9 simp22 1206 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐵𝑋)
104, 5, 6rhmmul 20503 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1370 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
128, 11oveq12d 7449 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))) = (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))))
13 rhmrcl2 20494 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
164, 15rhmf 20502 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
17163ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
1817, 2ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
19 simp3l 1200 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑈)
20 simp3r 1201 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)
21 rhmdvd.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑆)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/r𝑆)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 33226 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1371 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2512, 24eqtr2d 2776 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Ringcrg 20251  Unitcui 20372  /rcdvr 20417   RingHom crh 20486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33944  qqhghm  33951  qqhrhm  33952
  Copyright terms: Public domain W3C validator