Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvd 30503
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u 𝑈 = (Unit‘𝑆)
rhmdvd.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvd.d / = (/r𝑆)
rhmdvd.m · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1197 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 simp23 1199 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐶𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
5 rhmdvd.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2793 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
74, 5, 6rhmmul 19157 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1362 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
9 simp22 1198 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐵𝑋)
104, 5, 6rhmmul 19157 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1362 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
128, 11oveq12d 7025 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))) = (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))))
13 rhmrcl2 19150 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1124 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2793 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
164, 15rhmf 19156 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
17163ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
1817, 2ffvelrnd 6708 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
19 simp3l 1192 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑈)
20 simp3r 1193 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)
21 rhmdvd.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑆)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/r𝑆)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 30473 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1363 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2512, 24eqtr2d 2830 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  .rcmulr 16383  Ringcrg 18975  Unitcui 19067  /rcdvr 19110   RingHom crh 19142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-tpos 7734  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-0g 16532  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-mhm 17762  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-ghm 18085  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-dvr 19111  df-rnghom 19145
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  30795  qqhghm  30802  qqhrhm  30803
  Copyright terms: Public domain W3C validator