Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvd 33348
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u 𝑈 = (Unit‘𝑆)
rhmdvd.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvd.d / = (/r𝑆)
rhmdvd.m · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1207 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐴𝑋)
3 simp23 1209 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐶𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
5 rhmdvd.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
6 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
74, 5, 6rhmmul 20486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1373 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
9 simp22 1208 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐵𝑋)
104, 5, 6rhmmul 20486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1373 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶)))
128, 11oveq12d 7449 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))) = (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))))
13 rhmrcl2 20477 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
164, 15rhmf 20485 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
17163ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
1817, 2ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
19 simp3l 1202 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑈)
20 simp3r 1203 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)
21 rhmdvd.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑆)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/r𝑆)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 33240 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1374 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹𝐴)(.r𝑆)(𝐹𝐶)) / ((𝐹𝐵)(.r𝑆)(𝐹𝐶))) = ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)))
2512, 24eqtr2d 2778 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ ((𝐹𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  /rcdvr 20400   RingHom crh 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  33982  qqhghm  33989  qqhrhm  33990
  Copyright terms: Public domain W3C validator