Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmdvd 32431
Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvd.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
rhmdvd.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
rhmdvd.d / = (/rβ€˜π‘†)
rhmdvd.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rhmdvd ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))))
Proof of Theorem rhmdvd
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simp21 1206 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 simp23 1208 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
4 rhmdvd.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘…)
5 rhmdvd.m . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
74, 5, 6rhmmul 20263 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1371 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
9 simp22 1207 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
104, 5, 6rhmmul 20263 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
111, 9, 3, 10syl3anc 1371 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢)) = ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)))
128, 11oveq12d 7426 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))) = (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))))
13 rhmrcl2 20255 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
14133ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
164, 15rhmf 20262 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
17163ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜π‘†))
1817, 2ffvelcdmd 7087 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
19 simp3l 1201 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ)
20 simp3r 1202 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)
21 rhmdvd.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
22 rhmdvd.d . . . 4 / = (/rβ€˜π‘†)
2315, 21, 22, 6dvrcan5 32380 . . 3 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)))
2414, 18, 19, 20, 23syl13anc 1372 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (((πΉβ€˜π΄)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ)) / ((πΉβ€˜π΅)(.rβ€˜π‘†)(πΉβ€˜πΆ))) = ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)))
2512, 24eqtr2d 2773 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π΅) ∈ π‘ˆ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) / (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜(𝐴 Β· 𝐢)) / (πΉβ€˜(𝐡 Β· 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  /rcdvr 20213   RingHom crh 20247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-ghm 19089  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250
This theorem is referenced by:  qqhval2lem  32956  qqhghm  32963  qqhrhm  32964
  Copyright terms: Public domain W3C validator