Theorem ringexp0nn 42091

Description: Zero to the power of a positive integer is zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringexp0nn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringexp0nn.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ringexp0nn.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringexp0nn	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem ringexp0nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringexp0nn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (1 ↑ (0g‘𝑅)))
4	3	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)))
6	5	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)))
10	9	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
11		ringexp0nn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		ringmnd 20270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	mndidcl 18787	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	13, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
19	18, 14	mgpbas 20167	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
21	17, 20	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23		ringexp0nn.3	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
24	22, 23	mulg1 19121	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	21	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
29	22, 23, 28	mulgnnp1 19122	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
30	26, 27, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
31		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	31	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
33		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	18, 33	mgpplusg 20165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅)
36	14, 35, 15	ringrz 20317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	11, 17, 36	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	32, 39	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	30, 40	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
42	4, 6, 8, 10, 25, 41	nnindd 12313	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
43	2, 42	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42095