Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringexp0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringexp0nn 42136
Description: Zero to the power of a positive integer is zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ringexp0nn.1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringexp0nn.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ringexp0nn.3 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
ringexp0nn (𝜑 → (𝑁 (0g𝑅)) = (0g𝑅))

Proof of Theorem ringexp0nn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringexp0nn.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21ancli 548 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ ℕ))
3 oveq1 7439 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑥 (0g𝑅)) = (1 (0g𝑅)))
43eqeq1d 2738 . . 3 (𝑥 = 1 → ((𝑥 (0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ (1 (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
5 oveq1 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 (0g𝑅)) = (𝑦 (0g𝑅)))
65eqeq1d 2738 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 (0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
7 oveq1 7439 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 (0g𝑅)) = ((𝑦 + 1) (0g𝑅)))
87eqeq1d 2738 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 (0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
9 oveq1 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 (0g𝑅)) = (𝑁 (0g𝑅)))
109eqeq1d 2738 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 (0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 (0g𝑅)) = (0g𝑅)))
11 ringexp0nn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 ringmnd 20241 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
14 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1614, 15mndidcl 18763 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Mnd → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1713, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1918, 14mgpbas 20143 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
2117, 20eleqtrd 2842 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
22 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23 ringexp0nn.3 . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
2422, 23mulg1 19100 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (1 (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2521, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (1 (0g𝑅)) = (0g𝑅))
26 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ)
2721ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → (0g𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28 eqid 2736 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2922, 23, 28mulgnnp1 19101 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) (0g𝑅)) = ((𝑦 (0g𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)))
3026, 27, 29syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → ((𝑦 + 1) (0g𝑅)) = ((𝑦 (0g𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)))
31 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3231oveq1d 7447 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → ((𝑦 (0g𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)))
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3418, 33mgpplusg 20142 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
3534eqcomi 2745 . . . . . . . . 9 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r𝑅)
3614, 35, 15ringrz 20292 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3711, 17, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ) → ((0g𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3938adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → ((0g𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4032, 39eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → ((𝑦 (0g𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4130, 40eqtrd 2776 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 (0g𝑅)) = (0g𝑅)) → ((𝑦 + 1) (0g𝑅)) = (0g𝑅))
424, 6, 8, 10, 25, 41nnindd 12287 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 (0g𝑅)) = (0g𝑅))
432, 42syl 17 1 (𝜑 → (𝑁 (0g𝑅)) = (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159  cn 12267  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485  Mndcmnd 18748  .gcmg 19086  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42140
  Copyright terms: Public domain W3C validator