Theorem ringexp0nn 42961

Description: Zero to the power of a positive integer is zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringexp0nn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringexp0nn.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ringexp0nn.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringexp0nn	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem ringexp0nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringexp0nn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	ancli 558	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (1 ↑ (0g‘𝑅)))
4	3	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)))
6	5	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)))
10	9	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
11		ringexp0nn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		ringmnd 20371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	mndidcl 18842	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	13, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
19	18, 14	mgpbas 20267	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
21	17, 20	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
22		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23		ringexp0nn.3	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
24	22, 23	mulg1 19193	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
29	22, 23, 28	mulgnnp1 19194	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
30	26, 27, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
31		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	31	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
33		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	18, 33	mgpplusg 20266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅)
36	14, 35, 15	ringrz 20425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	11, 17, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	32, 39	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	30, 40	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
42	4, 6, 8, 10, 25, 41	nnindd 12270	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
43	2, 42	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11118   + caddc 11120  ℕcn 12250  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  0_gc0g 17516  Mndcmnd 18826  ._gcmg 19179  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-seq 14058  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-mulg 19180  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363

This theorem is used by:  aks6d1c5lem2  42965