Theorem ringexp0nn 43003

Description: Zero to the power of a positive integer is zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringexp0nn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringexp0nn.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ringexp0nn.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringexp0nn	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem ringexp0nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringexp0nn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	ancli 558	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (1 ↑ (0g‘𝑅)))
4	3	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)))
6	5	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)))
10	9	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
11		ringexp0nn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		ringmnd 20385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	mndidcl 18855	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	13, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
19	18, 14	mgpbas 20281	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
21	17, 20	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23		ringexp0nn.3	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
24	22, 23	mulg1 19207	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
29	22, 23, 28	mulgnnp1 19208	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
30	26, 27, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
31		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	31	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
33		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	18, 33	mgpplusg 20280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅)
36	14, 35, 15	ringrz 20439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	11, 17, 36	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	32, 39	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	30, 40	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
42	4, 6, 8, 10, 25, 41	nnindd 12280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
43	2, 42	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12260  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  0_gc0g 17527  Mndcmnd 18839  ._gcmg 19193  mulGrpcmgp 20276  Ringcrg 20375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14069  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-mulg 19194  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377

This theorem is used by:  aks6d1c5lem2  43007