Theorem ringexp0nn 42758

Description: Zero to the power of a positive integer is zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringexp0nn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringexp0nn.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ringexp0nn.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringexp0nn	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem ringexp0nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringexp0nn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	ancli 557	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		oveq1 7407	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (1 ↑ (0g‘𝑅)))
4	3	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7407	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)))
6	5	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7407	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7407	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)))
10	9	eqeq1d 2767	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
11		ringexp0nn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		ringmnd 20313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	mndidcl 18795	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	13, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
19	18, 14	mgpbas 20209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
21	17, 20	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
22		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23		ringexp0nn.3	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
24	22, 23	mulg1 19135	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	21	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
29	22, 23, 28	mulgnnp1 19136	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
30	26, 27, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
31		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	31	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
33		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	18, 33	mgpplusg 20208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅)
36	14, 35, 15	ringrz 20365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	11, 17, 36	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	32, 39	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	30, 40	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
42	4, 6, 8, 10, 25, 41	nnindd 12241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
43	2, 42	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   + caddc 11091  ℕcn 12221  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17480  Mndcmnd 18780  ._gcmg 19121  mulGrpcmgp 20204  Ringcrg 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-seq 14026  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-mulg 19122  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42762