Theorem ringexp0nn 42790

Description: Zero to the power of a positive integer is zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringexp0nn.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringexp0nn.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ringexp0nn.3	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
ringexp0nn	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Proof of Theorem ringexp0nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringexp0nn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	ancli 557	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (1 ↑ (0g‘𝑅)))
4	3	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)))
6	5	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)))
8	7	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)))
10	9	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
11		ringexp0nn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		ringmnd 20324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
13	11, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
14		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	14, 15	mndidcl 18806	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17	13, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
19	18, 14	mgpbas 20220	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
21	17, 20	eleqtrd 2871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
22		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
23		ringexp0nn.3	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
24	22, 23	mulg1 19146	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	21, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ)
27	21	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
29	22, 23, 28	mulgnnp1 19147	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
30	26, 27, 29	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
31		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	31	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)))
33		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	18, 33	mgpplusg 20219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	34	eqcomi 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅)
36	14, 35, 15	ringrz 20376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	11, 17, 36	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	32, 39	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ (0g‘𝑅))(+g‘(mulGrp‘𝑅))(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	30, 40	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
42	4, 6, 8, 10, 25, 41	nnindd 12252	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
43	2, 42	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100   + caddc 11102  ℕcn 12232  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791  ._gcmg 19132  mulGrpcmgp 20215  Ringcrg 20314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42794