Theorem aks6d1c5lem0 42128

Description: Lemma for Claim 5 of Theorem 6.1, G defines a map into the polynomials. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1p5.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1p5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c5.3	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c5.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c5.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑃)
aks6d1c5.6	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c5.7	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
aks6d1c5.8	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c5lem0	⊢ (𝜑 → 𝐺:(ℕ0 ↑m (0...𝐴))⟶(Base‘(Poly1‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑔,𝑖)   ↑ (𝑔,𝑖)   𝐺(𝑔,𝑖)   𝑋(𝑔,𝑖)

Proof of Theorem aks6d1c5lem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
2		aks6d1p5.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
3	2	fldcrngd 20646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
5	4	ply1crng 22100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → (Poly1‘𝐾) ∈ CRing)
6	3, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ CRing)
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
8	7	crngmgp 20145	. . . . . 6 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ CRing → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ CMnd)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ CMnd)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ CMnd)
11		fzfid 13899	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → (0...𝐴) ∈ Fin)
12		aks6d1c5.7	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
13	10	cmnmndd 19702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd)
15		nn0ex 12409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17		ovexd 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...𝐴) ∈ V)
18	16, 17	elmapd 8774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↔ 𝑔:(0...𝐴)⟶ℕ0))
19	18	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) → 𝑔:(0...𝐴)⟶ℕ0))
20	19	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → 𝑔:(0...𝐴)⟶ℕ0)
21	20	ffvelcdmda 7022	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑔‘𝑖) ∈ ℕ0)
22	6	crngringd 20150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ Ring)
23	22	ringcmnd 20188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ CMnd)
24		cmnmnd 19695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ CMnd → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
28	3	crngringd 20150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → 𝐾 ∈ Ring)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝐾 ∈ Ring)
31		aks6d1c5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
32		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
33	31, 4, 32	vr1cl 22119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
35		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))))
36		elfzelz 13446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ ℤ)
38	35, 37	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
39		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
40	39	zrhrhm 21437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
41		zringbas 21379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
42		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
43	41, 42	rhmf 20389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
45	29, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
46	45	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾))
47	38, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾))
48		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
49	4, 48, 42, 32	ply1sclcl 22189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾)) → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
50	30, 47, 49	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
51		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
52	32, 51	mndcl 18635	. . . . . . . 8 ⊢ (((Poly1‘𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾))) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
53	27, 34, 50, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
54	7, 32	mgpbas 20049	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
56	53, 55	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
57	1, 12, 14, 21, 56	mulgnn0cld 18993	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
58	57	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → ∀𝑖 ∈ (0...𝐴)((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
59	1, 10, 11, 58	gsummptcl 19865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
60	54	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝐾)))
62	59, 61	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴))) → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
63		aks6d1c5.8	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
64	62, 63	fmptd 7052	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(ℕ0 ↑m (0...𝐴))⟶(Base‘(Poly1‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  0cc0 11028   < clt 11168  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ...cfz 13429  ℙcprime 16601  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180   Σ_g cgsu 17363  Mndcmnd 18627  ._gcmg 18965  CMndccmn 19678  mulGrpcmgp 20044  Ringcrg 20137  CRingccrg 20138   RingHom crh 20373  Fieldcfield 20634  ℤ_ringczring 21372  ℤRHomczrh 21425  chrcchr 21427  algSccascl 21778  var₁cv1 22077  Poly₁cpl1 22078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-hash 14257  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-prds 17370  df-pws 17372  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-rhm 20376  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-field 20636  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-cnfld 21281  df-zring 21373  df-zrh 21429  df-ascl 21781  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-psr1 22081  df-vr1 22082  df-ply1 22083

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c6lem2  42164  aks6d1c6lem3  42165