MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0 21209
Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet0.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet0.z 𝑍 = (0g𝐴)
mdet0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdet0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4282 . . 3 (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝑁)
2 crngring 19300 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32anim1ci 618 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 mdet0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝐴)
6 mdet0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdet0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
86, 7mat0op 21022 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
95, 8syl5eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
1110fveq2d 6656 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )))
12 ifid 4478 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ) = 0
1312eqcomi 2831 . . . . . . . . 9 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))
1514mpoeq3dv 7217 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )))
1615fveq2d 6656 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))))
17 mdet0.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
20 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
2120adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
22 ringmnd 19298 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
232, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2423adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Mnd)
2518, 7mndidcl 17917 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2726adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28273ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
3017, 18, 7, 19, 21, 28, 29mdetr0 21208 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))) = 0 )
3111, 16, 303eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = 0 )
3231ex 416 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
3332exlimdv 1934 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∃𝑖 𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
341, 33syl5bi 245 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝐷𝑍) = 0 ))
35343impia 1114 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  c0 4265  ifcif 4439  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  Fincfn 8496  Basecbs 16474  0gc0g 16704  Mndcmnd 17902  Ringcrg 19288  CRingccrg 19289   Mat cmat 21010   maDet cmdat 21187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-efmnd 18025  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-symg 18487  df-pmtr 18561  df-psgn 18610  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19495  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-mat 21011  df-mdet 21188
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator