MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0 21971
Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet0.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet0.z 𝑍 = (0g𝐴)
mdet0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdet0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4311 . . 3 (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝑁)
2 crngring 19983 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32anim1ci 617 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
43adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5 mdet0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝐴)
6 mdet0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 mdet0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
86, 7mat0op 21784 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
95, 8eqtrid 2789 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
1110fveq2d 6851 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )))
12 ifid 4531 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ) = 0
1312eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))
1514mpoeq3dv 7441 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )))
1615fveq2d 6851 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))))
17 mdet0.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
20 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
2120adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
22 ringmnd 19981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
232, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Mnd)
2518, 7mndidcl 18578 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2726adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
3017, 18, 7, 19, 21, 28, 29mdetr0 21970 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))) = 0 )
3111, 16, 303eqtrd 2781 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = 0 )
3231ex 414 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
3332exlimdv 1937 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∃𝑖 𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
341, 33biimtrid 241 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝐷𝑍) = 0 ))
35343impia 1118 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  c0 4287  ifcif 4491  cfv 6501  (class class class)co 7362  cmpo 7364  Fincfn 8890  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-efmnd 18686  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-symg 19156  df-pmtr 19231  df-psgn 19280  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771  df-mdet 21950
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator