Theorem mdet0 22720

Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdet0.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet0.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐴)
mdet0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdet0	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem mdet0

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4308	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖 ∈ 𝑁)
2		crngring 20315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	anim1ci 627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
4	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
5		mdet0.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐴)
6		mdet0.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		mdet0.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 7	mat0op 22533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
9	5, 8	eqtrid 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
10	4, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑍 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 0 ))
11	10	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑍) = (𝐷‘(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 0 )))
12		ifid 4524	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ) = 0
13	12	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))
15	14	mpoeq3dv 7479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 0 ) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )))
16	15	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ 0 )) = (𝐷‘(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))))
17		mdet0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
20		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
21	20	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
22		ringmnd 20313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
23	2, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Mnd)
25	18, 7	mndidcl 18795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
27	26	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30	17, 18, 7, 19, 21, 28, 29	mdetr0 22719	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))) = 0 )
31	11, 16, 30	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑍) = 0 )
32	31	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐷‘𝑍) = 0 ))
33	32	exlimdv 1956	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∃𝑖 𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐷‘𝑍) = 0 ))
34	1, 33	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝐷‘𝑍) = 0 ))
35	34	3impia 1133	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  ifcif 4483  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  Fincfn 8931  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  Mndcmnd 18780  Ringcrg 20303  CRingccrg 20304   Mat cmat 22521   maDet cmdat 22698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1535  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-word 14539  df-lsw 14588  df-concat 14596  df-s1 14622  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-splice 14775  df-reverse 14784  df-s2 14873  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-efmnd 18916  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-gim 19317  df-cntz 19375  df-oppg 19404  df-symg 19428  df-pmtr 19500  df-psgn 19549  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-rhm 20542  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-cnfld 21480  df-zring 21554  df-zrh 21610  df-dsmm 21839  df-frlm 21854  df-mat 22522  df-mdet 22699

This theorem is referenced by: (None)