Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdet0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdet0 20817
 Description: The determinant of the zero matrix (of dimension greater 0!) is 0. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mdet0.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdet0.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdet0.z 𝑍 = (0g𝐴)
mdet0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdet0 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )

Proof of Theorem mdet0
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4158 . . 3 (𝑁 ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 𝑖𝑁)
2 crngring 18945 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
32anim1i 608 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
43ancomd 455 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
54adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
6 mdet0.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (0g𝐴)
7 mdet0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 mdet0.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
97, 8mat0op 20629 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
106, 9syl5eq 2825 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
115, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑍 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ))
1211fveq2d 6450 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )))
13 ifid 4345 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ) = 0
1413eqcomi 2786 . . . . . . . . 9 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 = if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))
1615mpt2eq3dv 6998 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 ) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 )))
1716fveq2d 6450 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁0 )) = (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))))
18 mdet0.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
19 eqid 2777 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 simpll 757 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
2221adantr 474 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
23 ringmnd 18943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
242, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2524adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Mnd)
2619, 8mndidcl 17694 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
2827adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29283ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
30 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
3118, 19, 8, 20, 22, 29, 30mdetr0 20816 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷‘(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑖, 0 , 0 ))) = 0 )
3212, 17, 313eqtrd 2817 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐷𝑍) = 0 )
3332ex 403 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
3433exlimdv 1976 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (∃𝑖 𝑖𝑁 → (𝐷𝑍) = 0 ))
351, 34syl5bi 234 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝐷𝑍) = 0 ))
36353impia 1106 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐷𝑍) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∅c0 4140  ifcif 4306  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  Fincfn 8241  Basecbs 16255  0gc0g 16486  Mndcmnd 17680  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935   Mat cmat 20617   maDet cmdat 20795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-reverse 13905  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-symg 18181  df-pmtr 18245  df-psgn 18294  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mat 20618  df-mdet 20796 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator