Theorem mat1mhm 22490

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
mat1mhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mat1mhm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1mhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mat1mhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1mhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20236	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		snfi 9083	. . . 4 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mat1rhmval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
7	6	matring 22449	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
8	4, 5, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
9		mat1mhm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
10	9	ringmgp 20236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Mnd)
12		mat1rhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		mat1rhmval.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
15		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
16	12, 6, 13, 14, 15	mat1f 22488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
17		ringmnd 20240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Mnd)
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
22		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24		snidg 4660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
25	24	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ {𝐸})
26		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
27	12, 6, 23, 14, 15	mat1rhmcl 22487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
28	22, 21, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
29	6, 12, 23, 25, 25, 28	matecld 22432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) ∈ 𝐾)
30		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
31	12, 6, 23, 14, 15	mat1rhmcl 22487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
32	22, 21, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
33	6, 12, 23, 25, 25, 32	matecld 22432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) ∈ 𝐾)
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
35	12, 34	ringcl 20247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) ∈ 𝐾) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
36	22, 29, 33, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
37		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒) = (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸))
38		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸) = (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸))
39	37, 38	oveq12d 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐸) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
41	12, 19, 21, 36, 40	gsumsnd 19970	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
42	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmelval 22486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
43	22, 21, 26, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
44	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmelval 22486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
45	22, 21, 30, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
46	43, 45	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
47	41, 46	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
48	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmcl 22487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
49	22, 21, 26, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
50	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmcl 22487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
51	22, 21, 30, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
52	49, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
53	24, 24	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
54	53	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
55		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
56	6, 13, 55	matmulcell 22451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))))
57	22, 52, 54, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))))
58	12, 34	ringcl 20247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
59	22, 26, 30, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
60	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmelval 22486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
61	22, 21, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
62	47, 57, 61	3eqtr4rd 2788	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
63		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗))
64		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
65	63, 64	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
66		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸))
67		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
68	66, 67	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
69	65, 68	2ralsng 4678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
70	20, 69	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
72	62, 71	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
73	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmcl 22487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
74	22, 21, 59, 73	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
75	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
76	13, 55	ringcl 20247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
77	75, 49, 51, 76	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
78	6, 13	eqmat 22430	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
79	74, 77, 78	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
80	72, 79	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
81	80	ralrimivva 3202	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
82		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
83	12, 82	ringidcl 20262	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
84	83	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
85	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmval 22485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
86	84, 85	mpd3an3 1464	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
87	6, 12, 14	mat1dimid 22480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
88	86, 87	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝐴))
89	16, 81, 88	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝐴)))
90	1, 12	mgpbas 20142	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
91	9, 13	mgpbas 20142	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
92	1, 34	mgpplusg 20141	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
93	9, 55	mgpplusg 20141	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘𝑁)
94	1, 82	ringidval 20180	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
95		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
96	9, 95	ringidval 20180	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘𝑁)
97	90, 91, 92, 93, 94, 96	ismhm 18798	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝐴))))
98	3, 11, 89, 97	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {csn 4626  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412

This theorem is referenced by:  mat1rhm  22491