MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1mhm 22506
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
mat1mhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mat1mhm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mat1mhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mat1mhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1mhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 20257 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 snfi 9082 . . . 4 {𝐸} ∈ Fin
5 simpl 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mat1rhmval.a . . . . 5 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
76matring 22465 . . . 4 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
84, 5, 7sylancr 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
9 mat1mhm.n . . . 4 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
109ringmgp 20257 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑁 ∈ Mnd)
12 mat1rhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
13 mat1rhmval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 mat1rhmval.o . . . 4 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
15 mat1rhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
1612, 6, 13, 14, 15mat1f 22504 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
17 ringmnd 20261 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Mnd)
20 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
22 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
23 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24 snidg 4665 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
2524ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸 ∈ {𝐸})
26 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
2712, 6, 23, 14, 15mat1rhmcl 22503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
2822, 21, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
296, 12, 23, 25, 25, 28matecld 22448 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) ∈ 𝐾)
30 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
3112, 6, 23, 14, 15mat1rhmcl 22503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
3222, 21, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
336, 12, 23, 25, 25, 32matecld 22448 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) ∈ 𝐾)
34 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3512, 34ringcl 20268 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) ∈ 𝐾) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
3622, 29, 33, 35syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
37 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐸 → (𝐸(𝐹𝑤)𝑒) = (𝐸(𝐹𝑤)𝐸))
38 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐸 → (𝑒(𝐹𝑦)𝐸) = (𝐸(𝐹𝑦)𝐸))
3937, 38oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4039adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐸) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4112, 19, 21, 36, 40gsumsnd 19985 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4212, 6, 13, 14, 15mat1rhmelval 22502 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
4322, 21, 26, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
4412, 6, 13, 14, 15mat1rhmelval 22502 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
4522, 21, 30, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
4643, 45oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
4741, 46eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
4812, 6, 13, 14, 15mat1rhmcl 22503 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
4922, 21, 26, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
5012, 6, 13, 14, 15mat1rhmcl 22503 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
5122, 21, 30, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
5249, 51jca 511 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
5324, 24jca 511 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
5453ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
55 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (.r𝐴) = (.r𝐴)
566, 13, 55matmulcell 22467 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))))
5722, 52, 54, 56syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))))
5812, 34ringcl 20268 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
5922, 26, 30, 58syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6012, 6, 13, 14, 15mat1rhmelval 22502 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
6122, 21, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
6247, 57, 613eqtr4rd 2786 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
63 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗))
64 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
6563, 64eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
66 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸))
67 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
6866, 67eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
6965, 682ralsng 4683 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7020, 69sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7170adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7262, 71mpbird 257 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
7312, 6, 13, 14, 15mat1rhmcl 22503 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
7422, 21, 59, 73syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
758adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
7613, 55ringcl 20268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
7775, 49, 51, 76syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
786, 13eqmat 22446 . . . . . 6 (((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
7974, 77, 78syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
8072, 79mpbird 257 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)))
8180ralrimivva 3200 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)))
82 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8312, 82ringidcl 20280 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
8483adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
8512, 6, 13, 14, 15mat1rhmval 22501 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
8684, 85mpd3an3 1461 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹‘(1r𝑅)) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
876, 12, 14mat1dimid 22496 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝐴) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
8886, 87eqtr4d 2778 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴))
8916, 81, 883jca 1127 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹:𝐾𝐵 ∧ ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴)))
901, 12mgpbas 20158 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
919, 13mgpbas 20158 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
921, 34mgpplusg 20156 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
939, 55mgpplusg 20156 . . 3 (.r𝐴) = (+g𝑁)
941, 82ringidval 20201 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
95 eqid 2735 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
969, 95ringidval 20201 . . 3 (1r𝐴) = (0g𝑁)
9790, 91, 92, 93, 94, 96ismhm 18811 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾𝐵 ∧ ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴))))
983, 11, 89, 97syl21anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {csn 4631  cop 4637  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428
This theorem is referenced by:  mat1rhm  22507
  Copyright terms: Public domain W3C validator