Theorem mat1mhm 22427

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
mat1rhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
mat1mhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mat1mhm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1mhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mat1mhm

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1mhm.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
4		snfi 9062	. . . 4 ⊢ {𝐸} ∈ Fin
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mat1rhmval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
7	6	matring 22386	. . . 4 ⊢ (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
8	4, 5, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
9		mat1mhm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
10	9	ringmgp 20204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Mnd)
12		mat1rhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		mat1rhmval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
14		mat1rhmval.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
15		mat1rhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
16	12, 6, 13, 14, 15	mat1f 22425	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹:𝐾⟶𝐵)
17		ringmnd 20208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Mnd)
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ 𝑉)
22		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24		snidg 4641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ {𝐸})
25	24	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐸 ∈ {𝐸})
26		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑤 ∈ 𝐾)
27	12, 6, 23, 14, 15	mat1rhmcl 22424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
28	22, 21, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
29	6, 12, 23, 25, 25, 28	matecld 22369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) ∈ 𝐾)
30		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
31	12, 6, 23, 14, 15	mat1rhmcl 22424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
32	22, 21, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
33	6, 12, 23, 25, 25, 32	matecld 22369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) ∈ 𝐾)
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
35	12, 34	ringcl 20215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) ∈ 𝐾) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
36	22, 29, 33, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
37		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒) = (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸))
38		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → (𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸) = (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸))
39	37, 38	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐸) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
41	12, 19, 21, 36, 40	gsumsnd 19938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))) = ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)))
42	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmelval 22423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
43	22, 21, 26, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸) = 𝑤)
44	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmelval 22423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
45	22, 21, 30, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸) = 𝑦)
46	43, 45	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝐸)(.r‘𝑅)(𝐸(𝐹‘𝑦)𝐸)) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
47	41, 46	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
48	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmcl 22424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
49	22, 21, 26, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
50	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmcl 22424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
51	22, 21, 30, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵)
52	49, 51	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵))
53	24, 24	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
54	53	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
55		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
56	6, 13, 55	matmulcell 22388	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))))
57	22, 52, 54, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹‘𝑤)𝑒)(.r‘𝑅)(𝑒(𝐹‘𝑦)𝐸)))))
58	12, 34	ringcl 20215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
59	22, 26, 30, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
60	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmelval 22423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
61	22, 21, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r‘𝑅)𝑦))
62	47, 57, 61	3eqtr4rd 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
63		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗))
64		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
65	63, 64	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
66		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸))
67		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸))
68	66, 67	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
69	65, 68	2ralsng 4659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
70	20, 69	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝐸)))
72	62, 71	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗))
73	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmcl 22424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (𝑤(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
74	22, 21, 59, 73	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
75	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
76	13, 55	ringcl 20215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
77	75, 49, 51, 76	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵)
78	6, 13	eqmat 22367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
79	74, 77, 78	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦))𝑗)))
80	72, 79	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
81	80	ralrimivva 3188	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)))
82		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
83	12, 82	ringidcl 20230	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
84	83	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
85	12, 6, 13, 14, 15	mat1rhmval 22422	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
86	84, 85	mpd3an3 1464	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
87	6, 12, 14	mat1dimid 22417	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (1r‘𝐴) = {⟨𝑂, (1r‘𝑅)⟩})
88	86, 87	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝐴))
89	16, 81, 88	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝐴)))
90	1, 12	mgpbas 20110	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
91	9, 13	mgpbas 20110	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
92	1, 34	mgpplusg 20109	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
93	9, 55	mgpplusg 20109	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘𝑁)
94	1, 82	ringidval 20148	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
95		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
96	9, 95	ringidval 20148	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘𝑁)
97	90, 91, 92, 93, 94, 96	ismhm 18768	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾⟶𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑤)(.r‘𝐴)(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝐴))))
98	3, 11, 89, 97	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {csn 4606  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717   MndHom cmhm 18764  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198   Mat cmat 22350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mamu 22334  df-mat 22351

This theorem is referenced by:  mat1rhm  22428