MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1mhm 21977
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mat1rhmval.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1rhmval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat1rhmval.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
mat1rhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
mat1mhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mat1mhm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mat1mhm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝐸   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mat1mhm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑤 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1mhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 20055 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
32adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑀 ∈ Mnd)
4 snfi 9040 . . . 4 {𝐸} ∈ Fin
5 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
6 mat1rhmval.a . . . . 5 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
76matring 21936 . . . 4 (({𝐸} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
84, 5, 7sylancr 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐴 ∈ Ring)
9 mat1mhm.n . . . 4 𝑁 = (mulGrp‘𝐴)
109ringmgp 20055 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑁 ∈ Mnd)
12 mat1rhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
13 mat1rhmval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 mat1rhmval.o . . . 4 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
15 mat1rhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ {⟨𝑂, 𝑥⟩})
1612, 6, 13, 14, 15mat1f 21975 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹:𝐾𝐵)
17 ringmnd 20059 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Mnd)
20 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸𝑉)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸𝑉)
22 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
23 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
24 snidg 4661 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉𝐸 ∈ {𝐸})
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐸 ∈ {𝐸})
26 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑤𝐾)
2712, 6, 23, 14, 15mat1rhmcl 21974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
2822, 21, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ (Base‘𝐴))
296, 12, 23, 25, 25, 28matecld 21919 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) ∈ 𝐾)
30 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝑦𝐾)
3112, 6, 23, 14, 15mat1rhmcl 21974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
3222, 21, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
336, 12, 23, 25, 25, 32matecld 21919 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) ∈ 𝐾)
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3512, 34ringcl 20066 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) ∈ 𝐾 ∧ (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) ∈ 𝐾) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
3622, 29, 33, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) ∈ 𝐾)
37 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐸 → (𝐸(𝐹𝑤)𝑒) = (𝐸(𝐹𝑤)𝐸))
38 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝐸 → (𝑒(𝐹𝑦)𝐸) = (𝐸(𝐹𝑦)𝐸))
3937, 38oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) ∧ 𝑒 = 𝐸) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4112, 19, 21, 36, 40gsumsnd 19814 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))) = ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)))
4212, 6, 13, 14, 15mat1rhmelval 21973 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
4322, 21, 26, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑤)𝐸) = 𝑤)
4412, 6, 13, 14, 15mat1rhmelval 21973 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
4522, 21, 30, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹𝑦)𝐸) = 𝑦)
4643, 45oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐸(𝐹𝑤)𝐸)(.r𝑅)(𝐸(𝐹𝑦)𝐸)) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
4741, 46eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
4812, 6, 13, 14, 15mat1rhmcl 21974 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
4922, 21, 26, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐵)
5012, 6, 13, 14, 15mat1rhmcl 21974 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
5122, 21, 30, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐵)
5249, 51jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵))
5324, 24jca 512 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑉 → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
5453ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸}))
55 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.r𝐴) = (.r𝐴)
566, 13, 55matmulcell 21938 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐸 ∈ {𝐸} ∧ 𝐸 ∈ {𝐸})) → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))))
5722, 52, 54, 56syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸) = (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝐸} ↦ ((𝐸(𝐹𝑤)𝑒)(.r𝑅)(𝑒(𝐹𝑦)𝐸)))))
5812, 34ringcl 20066 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑤𝐾𝑦𝐾) → (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
5922, 26, 30, 58syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6012, 6, 13, 14, 15mat1rhmelval 21973 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
6122, 21, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝑤(.r𝑅)𝑦))
6247, 57, 613eqtr4rd 2783 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
63 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗))
64 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐸 → (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
6563, 64eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐸 → ((𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
66 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸))
67 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐸 → (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸))
6866, 67eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝐸 → ((𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
6965, 682ralsng 4679 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7020, 69sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7170adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗) ↔ (𝐸(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝐸) = (𝐸((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝐸)))
7262, 71mpbird 256 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗))
7312, 6, 13, 14, 15mat1rhmcl 21974 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (𝑤(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
7422, 21, 59, 73syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵)
758adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → 𝐴 ∈ Ring)
7613, 55ringcl 20066 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
7775, 49, 51, 76syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
786, 13eqmat 21917 . . . . . 6 (((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
7974, 77, 78syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → ((𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ {𝐸}∀𝑗 ∈ {𝐸} (𝑖(𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦))𝑗) = (𝑖((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦))𝑗)))
8072, 79mpbird 256 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑤𝐾𝑦𝐾)) → (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)))
8180ralrimivva 3200 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)))
82 eqid 2732 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8312, 82ringidcl 20076 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
8483adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
8512, 6, 13, 14, 15mat1rhmval 21972 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(1r𝑅)) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
8684, 85mpd3an3 1462 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹‘(1r𝑅)) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
876, 12, 14mat1dimid 21967 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (1r𝐴) = {⟨𝑂, (1r𝑅)⟩})
8886, 87eqtr4d 2775 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴))
8916, 81, 883jca 1128 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → (𝐹:𝐾𝐵 ∧ ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴)))
901, 12mgpbas 19987 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑀)
919, 13mgpbas 19987 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
921, 34mgpplusg 19985 . . 3 (.r𝑅) = (+g𝑀)
939, 55mgpplusg 19985 . . 3 (.r𝐴) = (+g𝑁)
941, 82ringidval 20000 . . 3 (1r𝑅) = (0g𝑀)
95 eqid 2732 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
969, 95ringidval 20000 . . 3 (1r𝐴) = (0g𝑁)
9790, 91, 92, 93, 94, 96ismhm 18669 . 2 (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐾𝐵 ∧ ∀𝑤𝐾𝑦𝐾 (𝐹‘(𝑤(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑤)(.r𝐴)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(1r𝑅)) = (1r𝐴))))
983, 11, 89, 97syl21anbrc 1344 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  {csn 4627  cop 4633  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194   Σg cgsu 17382  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049   Mat cmat 21898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mamu 21877  df-mat 21899
This theorem is referenced by:  mat1rhm  21978
  Copyright terms: Public domain W3C validator