Theorem mgpsumz 47028

Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mgpsumz.0	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mgpsumz	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		mgpsumunsn.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mgpsumunsn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		mgpsumunsn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		mgpsumunsn.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		mgpsumunsn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		crngring 20067	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		ringmnd 20065	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
10	3, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
11		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mgpsumz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	mndidcl 18639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		mgpsumz.0	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15	mgpsumunsn 47027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
17	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 11	mgpbas 19992	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
19	1	crngmgp 20063	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
21		diffi 9178	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
22	4, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
23		eldifi 4126	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
24	23, 6	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
25	24	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 20, 22, 25	gsummptcl 19834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
27	11, 2, 12	ringrz 20107	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
28	17, 26, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
29	16, 28	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  CMndccmn 19647  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ring 20057  df-cring 20058

This theorem is referenced by: (None)