Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumz 47252
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
mgpsumunsn.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mgpsumunsn.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mgpsumunsn.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mgpsumunsn.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mgpsumunsn.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
mgpsumz.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mgpsumz.0 (๐‘˜ = ๐ผ โ†’ ๐ด = 0 )
Assertion
Ref Expression
mgpsumz (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ด)) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐ผ   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   0 ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ยท (๐‘˜)

Proof of Theorem mgpsumz
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.m . . 3 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
2 mgpsumunsn.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
3 mgpsumunsn.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
4 mgpsumunsn.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
5 mgpsumunsn.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
6 mgpsumunsn.a . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7 crngring 20142 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
8 ringmnd 20140 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
97, 8syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
103, 9syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
11 eqid 2724 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
12 mgpsumz.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘…)
1311, 12mndidcl 18674 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Mnd โ†’ 0 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1410, 13syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
15 mgpsumz.0 . . 3 (๐‘˜ = ๐ผ โ†’ ๐ด = 0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15mgpsumunsn 47251 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ด)) = ((๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ ๐ด)) ยท 0 ))
173, 7syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
181, 11mgpbas 20037 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘€)
191crngmgp 20138 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘€ โˆˆ CMnd)
203, 19syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ CMnd)
21 diffi 9176 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆˆ Fin)
224, 21syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โˆˆ Fin)
23 eldifi 4119 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
2423, 6sylan2 592 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2524ralrimiva 3138 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ})๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2618, 20, 22, 25gsummptcl 19879 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ ๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2711, 2, 12ringrz 20185 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ ๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ ๐ด)) ยท 0 ) = 0 )
2817, 26, 27syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐ผ}) โ†ฆ ๐ด)) ยท 0 ) = 0 )
2916, 28eqtrd 2764 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐ด)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3938  {csn 4621   โ†ฆ cmpt 5222  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17145  .rcmulr 17199  0gc0g 17386   ฮฃg cgsu 17387  Mndcmnd 18659  CMndccmn 19692  mulGrpcmgp 20031  Ringcrg 20130  CRingccrg 20131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-cring 20133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator