Theorem mgpsumz 45677

Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mgpsumz.0	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mgpsumz	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		mgpsumunsn.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mgpsumunsn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		mgpsumunsn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		mgpsumunsn.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		mgpsumunsn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		crngring 19806	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		ringmnd 19804	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
10	3, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
11		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mgpsumz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	mndidcl 18411	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		mgpsumz.0	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15	mgpsumunsn 45676	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
17	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 11	mgpbas 19737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
19	1	crngmgp 19802	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
21		diffi 8953	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
22	4, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
23		eldifi 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
24	23, 6	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
25	24	ralrimiva 3110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 20, 22, 25	gsummptcl 19579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
27	11, 2, 12	ringrz 19838	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
28	17, 26, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
29	16, 28	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3889  {csn 4567   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Fincfn 8725  Basecbs 16923  ._rcmulr 16974  0_gc0g 17161   Σ_g cgsu 17162  Mndcmnd 18396  CMndccmn 19397  mulGrpcmgp 19731  Ringcrg 19794  CRingccrg 19795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-oi 9257  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-seq 13733  df-hash 14056  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-grp 18591  df-mulg 18712  df-cntz 18934  df-cmn 19399  df-mgp 19732  df-ring 19796  df-cring 19797

This theorem is referenced by: (None)