Theorem mgpsumz 48340

Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mgpsumz.0	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mgpsumz	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		mgpsumunsn.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mgpsumunsn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		mgpsumunsn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		mgpsumunsn.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		mgpsumunsn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		crngring 20160	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		ringmnd 20158	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		mgpsumz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11	9, 10	mndidcl 18682	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
12	3, 7, 8, 11	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13		mgpsumz.0	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13	mgpsumunsn 48339	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
15	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 9	mgpbas 20060	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
17	1	crngmgp 20156	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
18	3, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
19		diffi 9144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
20	4, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
21		eldifi 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
22	21, 6	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
23	22	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
24	16, 18, 20, 23	gsummptcl 19903	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
25	9, 2, 10	ringrz 20209	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
26	15, 24, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
27	14, 26	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3913  {csn 4591   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Fincfn 8920  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17408   Σ_g cgsu 17409  Mndcmnd 18667  CMndccmn 19716  mulGrpcmgp 20055  Ringcrg 20148  CRingccrg 20149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151

This theorem is referenced by: (None)