Theorem mgpsumz 43002

Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpsumunsn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mgpsumunsn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
mgpsumunsn.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mgpsumz.0	⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
mgpsumz	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpsumunsn.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		mgpsumunsn.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		mgpsumunsn.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4		mgpsumunsn.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		mgpsumunsn.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
6		mgpsumunsn.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		crngring 18919	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		ringmnd 18917	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
10	3, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
11		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		mgpsumz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	11, 12	mndidcl 17668	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	10, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
15		mgpsumz.0	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → 𝐴 = 0 )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15	mgpsumunsn 43001	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
17	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
18	1, 11	mgpbas 18856	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
19	1	crngmgp 18916	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
21		diffi 8467	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
22	4, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
23		eldifi 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘 ∈ 𝑁)
24	23, 6	sylan2 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
25	24	ralrimiva 3175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 20, 22, 25	gsummptcl 18726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
27	11, 2, 12	ringrz 18949	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
28	17, 26, 27	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
29	16, 28	eqtrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ 𝐴)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3795  {csn 4399   ↦ cmpt 4954  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228  Basecbs 16229  ._rcmulr 16313  0_gc0g 16460   Σ_g cgsu 16461  Mndcmnd 17654  CMndccmn 18553  mulGrpcmgp 18850  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ring 18910  df-cring 18911

This theorem is referenced by: (None)