Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumz 48089
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t · = (.r𝑅)
mgpsumunsn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i (𝜑𝐼𝑁)
mgpsumunsn.a ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z 0 = (0g𝑅)
mgpsumz.0 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mgpsumz (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 mgpsumunsn.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 mgpsumunsn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4 mgpsumunsn.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 mgpsumunsn.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
6 mgpsumunsn.a . . 3 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 crngring 20274 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8 ringmnd 20272 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
9 eqid 2740 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10 mgpsumz.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
119, 10mndidcl 18789 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
123, 7, 8, 114syl 19 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
13 mgpsumz.0 . . 3 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 0 )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 13mgpsumunsn 48088 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
153, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
161, 9mgpbas 20169 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
171crngmgp 20270 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
183, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
19 diffi 9244 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
21 eldifi 4154 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘𝑁)
2221, 6sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2322ralrimiva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2416, 18, 20, 23gsummptcl 20011 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
259, 2, 10ringrz 20319 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
2615, 24, 25syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
2714, 26eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cdif 3973  {csn 4648  cmpt 5249  cfv 6575  (class class class)co 7450  Fincfn 9005  Basecbs 17260  .rcmulr 17314  0gc0g 17501   Σg cgsu 17502  Mndcmnd 18774  CMndccmn 19824  mulGrpcmgp 20163  Ringcrg 20262  CRingccrg 20263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-hash 14382  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-gsum 17504  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-cntz 19359  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator