Theorem tdeglem2 26100

Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tdeglem2	⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℎ‘∅)) = (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Proof of Theorem tdeglem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8889	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → ℎ:{∅}⟶ℕ0)
2	1	feqmptd 6977	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → ℎ = (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥)))
3	2	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))))
4		cnring 21403	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringmnd 20240	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → ℂfld ∈ Mnd)
7		0ex 5307	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → ∅ ∈ V)
9	7	snid 4662	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
10		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ:{∅}⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℕ0)
11	1, 9, 10	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → (ℎ‘∅) ∈ ℂ)
13		cnfldbas 21368	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘∅))
15	13, 14	gsumsn 19972	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (ℎ‘∅) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))) = (ℎ‘∅))
16	6, 8, 12, 15	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (ℎ‘𝑥))) = (ℎ‘∅))
17	3, 16	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {∅}) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℎ‘∅))
18		df1o2 8513	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
19	18	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = (ℕ0 ↑m {∅})
20	17, 19	eleq2s 2859	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℎ‘∅))
21	20	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (ℎ‘∅) = (ℂfld Σg ℎ))
22	21	mpteq2ia 5245	1 ⊢ (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℎ‘∅)) = (ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1_oc1o 8499   ↑_m cmap 8866  ℂcc 11153  ℕ₀cn0 12526   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Ringcrg 20230  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  deg1ldg  26131  deg1leb  26134  deg1val  26135