MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem2 24814
Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tdeglem2 ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (‘∅)) = ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg ))

Proof of Theorem tdeglem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8460 . . . . . . 7 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → :{∅}⟶ℕ0)
21feqmptd 6738 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → = (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥)))
32oveq2d 7187 . . . . 5 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))))
4 cnring 20240 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
5 ringmnd 19427 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64, 5mp1i 13 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → ℂfld ∈ Mnd)
7 0ex 5176 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → ∅ ∈ V)
97snid 4553 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
10 ffvelrn 6860 . . . . . . . 8 ((:{∅}⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ {∅}) → (‘∅) ∈ ℕ0)
111, 9, 10sylancl 589 . . . . . . 7 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (‘∅) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12039 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (‘∅) ∈ ℂ)
13 cnfldbas 20222 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 fveq2 6675 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥) = (‘∅))
1513, 14gsumsn 19194 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (‘∅) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))) = (‘∅))
166, 8, 12, 15syl3anc 1372 . . . . 5 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))) = (‘∅))
173, 16eqtrd 2773 . . . 4 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (ℂfld Σg ) = (‘∅))
18 df1o2 8144 . . . . 5 1o = {∅}
1918oveq2i 7182 . . . 4 (ℕ0m 1o) = (ℕ0m {∅})
2017, 19eleq2s 2851 . . 3 ( ∈ (ℕ0m 1o) → (ℂfld Σg ) = (‘∅))
2120eqcomd 2744 . 2 ( ∈ (ℕ0m 1o) → (‘∅) = (ℂfld Σg ))
2221mpteq2ia 5122 1 ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (‘∅)) = ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3398  c0 4212  {csn 4517  cmpt 5111  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7171  1oc1o 8125  m cmap 8438  cc 10614  0cn0 11977   Σg cgsu 16818  Mndcmnd 18028  Ringcrg 19417  fldccnfld 20218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-addf 10695  ax-mulf 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-grp 18223  df-mulg 18344  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-mgp 19360  df-ring 19419  df-cring 19420  df-cnfld 20219
This theorem is referenced by:  deg1ldg  24845  deg1leb  24848  deg1val  24849
  Copyright terms: Public domain W3C validator