MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem2 25941
Description: Simplification of total degree for the univariate case. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tdeglem2 ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (‘∅)) = ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg ))

Proof of Theorem tdeglem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8840 . . . . . . 7 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → :{∅}⟶ℕ0)
21feqmptd 6951 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → = (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥)))
32oveq2d 7418 . . . . 5 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))))
4 cnring 21272 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
5 ringmnd 20144 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
64, 5mp1i 13 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → ℂfld ∈ Mnd)
7 0ex 5298 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → ∅ ∈ V)
97snid 4657 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
10 ffvelcdm 7074 . . . . . . . 8 ((:{∅}⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ {∅}) → (‘∅) ∈ ℕ0)
111, 9, 10sylancl 585 . . . . . . 7 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (‘∅) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12533 . . . . . 6 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (‘∅) ∈ ℂ)
13 cnfldbas 21238 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
14 fveq2 6882 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥) = (‘∅))
1513, 14gsumsn 19870 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ ∅ ∈ V ∧ (‘∅) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))) = (‘∅))
166, 8, 12, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ {∅} ↦ (𝑥))) = (‘∅))
173, 16eqtrd 2764 . . . 4 ( ∈ (ℕ0m {∅}) → (ℂfld Σg ) = (‘∅))
18 df1o2 8469 . . . . 5 1o = {∅}
1918oveq2i 7413 . . . 4 (ℕ0m 1o) = (ℕ0m {∅})
2017, 19eleq2s 2843 . . 3 ( ∈ (ℕ0m 1o) → (ℂfld Σg ) = (‘∅))
2120eqcomd 2730 . 2 ( ∈ (ℕ0m 1o) → (‘∅) = (ℂfld Σg ))
2221mpteq2ia 5242 1 ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (‘∅)) = ( ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (ℂfld Σg ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  c0 4315  {csn 4621  cmpt 5222  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  1oc1o 8455  m cmap 8817  cc 11105  0cn0 12471   Σg cgsu 17391  Mndcmnd 18663  Ringcrg 20134  fldccnfld 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21235
This theorem is referenced by:  deg1ldg  25972  deg1leb  25975  deg1val  25976
  Copyright terms: Public domain W3C validator