Theorem amgm4d 41430

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm4d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 13512	. . . 4 ⊢ (0..^4) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4		4nn 11878	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13247	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^4)
7		ne0i 4235	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9		amgm4d.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm4d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12		amgm4d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 11, 12	s4cld 14403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14		wrdf 14039	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16		s4len 14429	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
18	17	oveq2d 7207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
19	18	feq2d 6509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
20	15, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
21	1, 3, 8, 20	amgmlem 25826	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))))
22		cnring 20339	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
23	1	ringmgp 19522	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
25	9	rpcnd 12595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	10	rpcnd 12595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
27	11	rpcnd 12595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
28	12	rpcnd 12595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	27, 28	jca 515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	25, 26, 29	jca32 519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31		cnfldbas 20321	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
32	1, 31	mgpbas 19464	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33		cnfldmul 20323	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
34	1, 33	mgpplusg 19462	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
35	32, 34	gsumws4 41427	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
36	24, 30, 35	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37		4nn0 12074	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38		hashfzo0 13962	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^4)) = 4)
39	37, 38	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^4)) = 4)
40	39	oveq2d 7207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^4))) = (1 / 4))
41	36, 40	oveq12d 7209	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42		ringmnd 19526	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
43	22, 42	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44		cnfldadd 20322	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
45	31, 44	gsumws4 41427	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
46	43, 30, 45	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
47	46, 39	oveq12d 7209	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
48	21, 41, 47	3brtr3d 5070	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  ℂcc 10692  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   · cmul 10699   ≤ cle 10833   / cdiv 11454  ℕcn 11795  4c4 11852  ℕ₀cn0 12055  ℝ⁺crp 12551  ..^cfzo 13203  ♯chash 13861  Word cword 14034  ⟨“cs4 14373   Σ_g cgsu 16899  Mndcmnd 18127  mulGrpcmgp 19458  Ringcrg 19516  ℂ_fldccnfld 20317  ↑_𝑐ccxp 25398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-word 14035  df-concat 14091  df-s1 14118  df-s2 14378  df-s3 14379  df-s4 14380  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-ghm 18574  df-gim 18617  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-cring 19519  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-invr 19644  df-dvr 19655  df-drng 19723  df-subrg 19752  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-refld 20521  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-cmp 22238  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718  df-log 25399  df-cxp 25400

This theorem is referenced by: (None)