Theorem amgm4d 45040

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm4d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 14038	. . . 4 ⊢ (0..^4) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4		4nn 12348	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13755	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^4)
7		ne0i 4287	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9		amgm4d.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm4d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12		amgm4d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 11, 12	s4cld 14944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14		wrdf 14583	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16		s4len 14970	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
18	17	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
19	18	feq2d 6686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
20	15, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
21	1, 3, 8, 20	amgmlem 27226	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))))
22		cnring 21607	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
23	1	ringmgp 20378	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	22, 23	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
25	9	rpcnd 13088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	10	rpcnd 13088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
27	11	rpcnd 13088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
28	12	rpcnd 13088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	27, 28	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	25, 26, 29	jca32 525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31		cnfldbas 21589	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
32	1, 31	mgpbas 20278	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33		cnfldmul 21593	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
34	1, 33	mgpplusg 20277	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
35	32, 34	gsumws4 45037	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
36	24, 30, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37		4nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38		hashfzo0 14495	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^4)) = 4)
39	37, 38	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^4)) = 4)
40	39	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^4))) = (1 / 4))
41	36, 40	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42		ringmnd 20382	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
43	22, 42	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44		cnfldadd 21591	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
45	31, 44	gsumws4 45037	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
46	43, 30, 45	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
47	46, 39	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
48	21, 41, 47	3brtr3d 5136	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   ≤ cle 11268   / cdiv 11895  ℕcn 12257  4c4 12321  ℕ₀cn0 12528  ℝ⁺crp 13042  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578  ⟨“cs4 14914   Σ_g cgsu 17525  Mndcmnd 18836  mulGrpcmgp 20273  Ringcrg 20372  ℂ_fldccnfld 21585  ↑_𝑐ccxp 26792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-s4 14921  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-drng 20892  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-refld 21818  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26793  df-cxp 26794

This theorem is used by: (None)