Theorem amgm4d 44811

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm4d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 14006	. . . 4 ⊢ (0..^4) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4		4nn 12320	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13724	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^4)
7		ne0i 4302	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9		amgm4d.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm4d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12		amgm4d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 11, 12	s4cld 14906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14		wrdf 14551	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16		s4len 14932	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
18	17	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
19	18	feq2d 6687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
20	15, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
21	1, 3, 8, 20	amgmlem 27116	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))))
22		cnring 21509	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
23	1	ringmgp 20317	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	22, 23	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
25	9	rpcnd 13058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	10	rpcnd 13058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
27	11	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
28	12	rpcnd 13058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	27, 28	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	25, 26, 29	jca32 524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31		cnfldbas 21491	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
32	1, 31	mgpbas 20217	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33		cnfldmul 21495	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
34	1, 33	mgpplusg 20216	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
35	32, 34	gsumws4 44808	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
36	24, 30, 35	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37		4nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38		hashfzo0 14463	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^4)) = 4)
39	37, 38	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^4)) = 4)
40	39	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^4))) = (1 / 4))
41	36, 40	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42		ringmnd 20321	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
43	22, 42	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44		cnfldadd 21493	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
45	31, 44	gsumws4 44808	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
46	43, 30, 45	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
47	46, 39	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
48	21, 41, 47	3brtr3d 5143	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294   class class class wbr 5110  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   ≤ cle 11240   / cdiv 11867  ℕcn 12229  4c4 12293  ℕ₀cn0 12500  ℝ⁺crp 13012  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  ⟨“cs4 14876   Σ_g cgsu 17489  Mndcmnd 18788  mulGrpcmgp 20212  Ringcrg 20311  ℂ_fldccnfld 21487  ↑_𝑐ccxp 26682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-s4 14883  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-refld 21720  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-cxp 26684

This theorem is referenced by: (None)