Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm4d 44213
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm4d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm4d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 14015 . . . 4 (0..^4) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4 4nn 12349 . . . . 5 4 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13739 . . . . 5 (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 231 . . . 4 0 ∈ (0..^4)
7 ne0i 4341 . . . 4 (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9 amgm4d.0 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm4d.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm4d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
12 amgm4d.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
139, 10, 11, 12s4cld 14912 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14 wrdf 14557 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16 s4len 14938 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
1817oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
1918feq2d 6722 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
2015, 19mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
211, 3, 8, 20amgmlem 27033 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))))
22 cnring 21403 . . . . 5 fld ∈ Ring
231ringmgp 20236 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
259rpcnd 13079 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2610rpcnd 13079 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2711rpcnd 13079 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2812rpcnd 13079 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2927, 28jca 511 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
3025, 26, 29jca32 515 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31 cnfldbas 21368 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
321, 31mgpbas 20142 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33 cnfldmul 21372 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
341, 33mgpplusg 20141 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3532, 34gsumws4 44210 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
3624, 30, 35syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37 4nn0 12545 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
38 hashfzo0 14469 . . . . 5 (4 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^4)) = 4)
3937, 38mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^4)) = 4)
4039oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^4))) = (1 / 4))
4136, 40oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42 ringmnd 20240 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4322, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44 cnfldadd 21370 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4531, 44gsumws4 44210 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
4643, 30, 45syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
4746, 39oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
4821, 41, 473brtr3d 5174 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  c0 4333   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  4c4 12323  0cn0 12526  +crp 13034  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs4 14882   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator