Theorem amgm4d 44193

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm4d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
amgm4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 13900	. . . 4 ⊢ (0..^4) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ∈ Fin)
4		4nn 12230	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13621	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^4)
7		ne0i 4294	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^4) → (0..^4) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^4) ≠ ∅)
9		amgm4d.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm4d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm4d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12		amgm4d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ+)
13	9, 10, 11, 12	s4cld 14799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+)
14		wrdf 14444	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+)
16		s4len 14825	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4)
18	17	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)) = (0..^4))
19	18	feq2d 6640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+))
20	15, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩:(0..^4)⟶ℝ+)
21	1, 3, 8, 20	amgmlem 26917	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))))
22		cnring 21316	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
23	1	ringmgp 20143	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
25	9	rpcnd 12958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	10	rpcnd 12958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
27	11	rpcnd 12958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
28	12	rpcnd 12958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	27, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
30	25, 26, 29	jca32 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))))
31		cnfldbas 21284	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
32	1, 31	mgpbas 20049	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
33		cnfldmul 21288	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
34	1, 33	mgpplusg 20048	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
35	32, 34	gsumws4 44190	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
36	24, 30, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷))))
37		4nn0 12422	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38		hashfzo0 14356	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^4)) = 4)
39	37, 38	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^4)) = 4)
40	39	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^4))) = (1 / 4))
41	36, 40	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^4)))) = ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42		ringmnd 20147	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
43	22, 42	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
44		cnfldadd 21286	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
45	31, 44	gsumws4 44190	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
46	43, 30, 45	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
47	46, 39	oveq12d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) / (♯‘(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))
48	21, 41, 47	3brtr3d 5126	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · (𝐶 · 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  ℕcn 12147  4c4 12204  ℕ₀cn0 12403  ℝ⁺crp 12912  ..^cfzo 13576  ♯chash 14256  Word cword 14439  ⟨“cs4 14769   Σ_g cgsu 17363  Mndcmnd 18627  mulGrpcmgp 20044  Ringcrg 20137  ℂ_fldccnfld 21280  ↑_𝑐ccxp 26481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-word 14440  df-concat 14497  df-s1 14522  df-s2 14774  df-s3 14775  df-s4 14776  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-gim 19157  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-drng 20635  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-refld 21531  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-cmp 23291  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785  df-log 26482  df-cxp 26483

This theorem is referenced by: (None)