Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm4d 43633
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 4. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm4d.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm4d.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
amgm4d.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
amgm4d.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm4d (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝐡 Β· (𝐢 Β· 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≀ ((𝐴 + (𝐡 + (𝐢 + 𝐷))) / 4))

Proof of Theorem amgm4d
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 fzofi 13977 . . . 4 (0..^4) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^4) ∈ Fin)
4 4nn 12331 . . . . 5 4 ∈ β„•
5 lbfzo0 13710 . . . . 5 (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . 4 0 ∈ (0..^4)
7 ne0i 4336 . . . 4 (0 ∈ (0..^4) β†’ (0..^4) β‰  βˆ…)
86, 7mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^4) β‰  βˆ…)
9 amgm4d.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm4d.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
11 amgm4d.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
12 amgm4d.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
139, 10, 11, 12s4cld 14862 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word ℝ+)
14 wrdf 14507 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©))βŸΆβ„+)
1513, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©))βŸΆβ„+)
16 s4len 14888 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = 4
1716a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = 4)
1817oveq2d 7440 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)) = (0..^4))
1918feq2d 6711 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©:(0..^4)βŸΆβ„+))
2015, 19mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©:(0..^4)βŸΆβ„+)
211, 3, 8, 20amgmlem 26940 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^4)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^4))))
22 cnring 21323 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
231ringmgp 20184 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
259rpcnd 13056 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2610rpcnd 13056 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2711rpcnd 13056 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2812rpcnd 13056 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
2927, 28jca 510 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))
3025, 26, 29jca32 514 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚))))
31 cnfldbas 21288 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
321, 31mgpbas 20085 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
33 cnfldmul 21292 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
341, 33mgpplusg 20083 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3532, 34gsumws4 43630 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)))) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = (𝐴 Β· (𝐡 Β· (𝐢 Β· 𝐷))))
3624, 30, 35syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = (𝐴 Β· (𝐡 Β· (𝐢 Β· 𝐷))))
37 4nn0 12527 . . . . 5 4 ∈ β„•0
38 hashfzo0 14427 . . . . 5 (4 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^4)) = 4)
3937, 38mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^4)) = 4)
4039oveq2d 7440 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜(0..^4))) = (1 / 4))
4136, 40oveq12d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^4)))) = ((𝐴 Β· (𝐡 Β· (𝐢 Β· 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)))
42 ringmnd 20188 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
4322, 42mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
44 cnfldadd 21290 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4531, 44gsumws4 43630 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ β„‚)))) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = (𝐴 + (𝐡 + (𝐢 + 𝐷))))
4643, 30, 45syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) = (𝐴 + (𝐡 + (𝐢 + 𝐷))))
4746, 39oveq12d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆπ·β€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^4))) = ((𝐴 + (𝐡 + (𝐢 + 𝐷))) / 4))
4821, 41, 473brtr3d 5181 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝐡 Β· (𝐢 Β· 𝐷)))↑𝑐(1 / 4)) ≀ ((𝐴 + (𝐡 + (𝐢 + 𝐷))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ…c0 4324   class class class wbr 5150  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  β„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   Β· cmul 11149   ≀ cle 11285   / cdiv 11907  β„•cn 12248  4c4 12305  β„•0cn0 12508  β„+crp 13012  ..^cfzo 13665  β™―chash 14327  Word cword 14502  βŸ¨β€œcs4 14832   Ξ£g cgsu 17427  Mndcmnd 18699  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20178  β„‚fldccnfld 21284  β†‘𝑐ccxp 26507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-s2 14837  df-s3 14838  df-s4 14839  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-refld 21542  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator