Theorem zring0 21496

Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring0	⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 21428	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 20272	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 20270	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0z 12631	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zsscn 12628	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		df-zring 21485	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		cnfldbas 21395	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 21432	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 18797	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1462	1 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3966  ‘cfv 6569  ℂcc 11160  0cc0 11162  ℤcz 12620  0_gc0g 17495  Mndcmnd 18769  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  ℂ_fldccnfld 21391  ℤ_ringczring 21484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-addf 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-dec 12741  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-starv 17322  df-tset 17326  df-ple 17327  df-ds 17329  df-unif 17330  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18976  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-ring 20262  df-cring 20263  df-cnfld 21392  df-zring 21485

This theorem is referenced by:  zringnzr  21498  zringlpirlem1  21500  zringinvg  21503  zringlpir  21505  zringndrg  21506  prmirred  21512  zrh0  21551  zndvds0  21596  lgseisenlem4  27448  gsummulgc2  33078  elrgspnlem1  33264  zringidom  33591  zringfrac  33594  zrhf1ker  33968  zlmodzxz0  48239  zlmodzxzldep  48388