Theorem zring0 21431

Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring0	⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 21363	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 20210	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 20208	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0z 12607	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zsscn 12604	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		df-zring 21420	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		cnfldbas 21330	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 21367	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 18744	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1462	1 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  ℂcc 11135  0cc0 11137  ℤcz 12596  0_gc0g 17455  Mndcmnd 18716  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  ℂ_fldccnfld 21326  ℤ_ringczring 21419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-cmn 19768  df-mgp 20106  df-ring 20200  df-cring 20201  df-cnfld 21327  df-zring 21420

This theorem is referenced by:  zringnzr  21433  zringlpirlem1  21435  zringinvg  21438  zringlpir  21440  zringndrg  21441  prmirred  21447  zrh0  21486  zndvds0  21523  lgseisenlem4  27358  gsummulgc2  33002  elrgspnlem1  33185  zringidom  33514  zringfrac  33517  zrhf1ker  33933  zlmodzxz0  48230  zlmodzxzldep  48379