Theorem zring0 21779

Description: The zero element of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zring0	⊢ 0 = (0g‘ℤring)

Proof of Theorem zring0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 21714	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 20487	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 20485	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0z 12717	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		zsscn 12714	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		df-zring 21768	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
8		cnfldbas 21697	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 21717	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 18969	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℤring))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1490	1 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6547  ℂcc 11211  0cc0 11213  ℤcz 12706  0_gc0g 17625  Mndcmnd 18938  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  ℂ_fldccnfld 21693  ℤ_ringczring 21767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-cmn 20011  df-mgp 20376  df-ring 20476  df-cring 20477  df-cnfld 21694  df-zring 21768

This theorem is used by:  zringnzr  21781  zringlpirlem1  21783  zringinvg  21786  zringlpir  21788  zringndrg  21789  prmirred  21795  zrh0  21834  zndvds0  21871  lgseisenlem4  27720  gsummulgc2  33683  elrgspnlem1  33859  zringidom  34139  zringfrac  34142  zrhf1ker  34661  zlmodzxz0  49610  zlmodzxzldep  49758