MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulmarep1gsum1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulmarep1gsum1 21920
Description: The sum of element by element multiplications of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1 1 = (1r𝐴)
mulmarep1el.0 0 = (0g𝑅)
mulmarep1el.e 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
mulmarep1gsum1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙   𝐾,𝑙   𝑁,𝑙   𝑅,𝑙   𝑉,𝑙   𝑋,𝑙   0 ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑙)   1 (𝑙)   𝐸(𝑙)

Proof of Theorem mulmarep1gsum1
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
43adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) ∧ 𝑙𝑁) → (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁))
5 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾) → 𝐼𝑁)
653ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → 𝐼𝑁)
76adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝐼𝑁)
8 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾) → 𝐽𝑁)
983ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → 𝐽𝑁)
109adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝐽𝑁)
11 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) ∧ 𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
12 marepvcl.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 marepvcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
14 marepvcl.v . . . . . 6 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
15 ma1repvcl.1 . . . . . 6 1 = (1r𝐴)
16 mulmarep1el.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
17 mulmarep1el.e . . . . . 6 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
1812, 13, 14, 15, 16, 17mulmarep1el 21919 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝑙𝑁)) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
192, 4, 7, 10, 11, 18syl113anc 1382 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) ∧ 𝑙𝑁) → ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
2019mpteq2dva 5205 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽))) = (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ))))
2120oveq2d 7372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))))
22 neneq 2949 . . . . . . 7 (𝐽𝐾 → ¬ 𝐽 = 𝐾)
23223ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾) → ¬ 𝐽 = 𝐾)
24233ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → ¬ 𝐽 = 𝐾)
2524iffalsed 4497 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ))
2625mpteq2dv 5207 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ))) = (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))
2726oveq2d 7372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝐶𝑙)), if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )))) = (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ))))
28 ringmnd 19972 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
29283ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → 𝑅 ∈ Mnd)
3012, 13matrcl 21757 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
3130simpld 495 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
32313ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
33323ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → 𝑁 ∈ Fin)
34 eqcom 2743 . . . . 5 (𝐽 = 𝑙𝑙 = 𝐽)
35 ifbi 4508 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝑙𝑙 = 𝐽) → if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ) = if(𝑙 = 𝐽, (𝐼𝑋𝑙), 0 ))
36 oveq2 7364 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐽 → (𝐼𝑋𝑙) = (𝐼𝑋𝐽))
3736adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐽 = 𝑙𝑙 = 𝐽) ∧ 𝑙 = 𝐽) → (𝐼𝑋𝑙) = (𝐼𝑋𝐽))
3837ifeq1da 4517 . . . . . 6 ((𝐽 = 𝑙𝑙 = 𝐽) → if(𝑙 = 𝐽, (𝐼𝑋𝑙), 0 ) = if(𝑙 = 𝐽, (𝐼𝑋𝐽), 0 ))
3935, 38eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝐽 = 𝑙𝑙 = 𝐽) → if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ) = if(𝑙 = 𝐽, (𝐼𝑋𝐽), 0 ))
4034, 39ax-mp 5 . . . 4 if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ) = if(𝑙 = 𝐽, (𝐼𝑋𝐽), 0 )
4140mpteq2i 5210 . . 3 (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 )) = (𝑙𝑁 ↦ if(𝑙 = 𝐽, (𝐼𝑋𝐽), 0 ))
4213eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4342biimpi 215 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
44433ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
45443ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
46 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4712, 46matecl 21772 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
486, 9, 45, 47syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝐼𝑋𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
4916, 29, 33, 9, 41, 48gsummptif1n0 19741 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ if(𝐽 = 𝑙, (𝐼𝑋𝑙), 0 ))) = (𝐼𝑋𝐽))
5021, 27, 493eqtrd 2780 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁𝐽𝐾)) → (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝐼𝑋𝑙)(.r𝑅)(𝑙𝐸𝐽)))) = (𝐼𝑋𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  ifcif 4486  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  Fincfn 8882  Basecbs 17082  .rcmulr 17133  0gc0g 17320   Σg cgsu 17321  Mndcmnd 18555  1rcur 19911  Ringcrg 19962   Mat cmat 21752   matRepV cmatrepV 21904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-sup 9377  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-seq 13906  df-hash 14230  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-prds 17328  df-pws 17330  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-mhm 18600  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-mulg 18871  df-subg 18923  df-ghm 19004  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-dsmm 21136  df-frlm 21151  df-mamu 21731  df-mat 21753  df-marepv 21906
This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum2  21921
  Copyright terms: Public domain W3C validator