Theorem re0g 21651

Description: The zero element of the field of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
re0g	⊢ 0 = (0g‘ℝfld)

Proof of Theorem re0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncrng 21432	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ CRing
2		crngring 20281	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3		ringmnd 20279	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
5		0re 11176	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		ax-resscn 11123	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7		df-refld 21644	. . 3 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
8		cnfldbas 21415	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 21435	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10	7, 8, 9	ress0g 18786	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℝfld))
11	4, 5, 6, 10	mp3an 1481	1 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6515  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18758  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270  ℂ_fldccnfld 21411  ℝ_fldcrefld 21643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-cmn 19812  df-mgp 20177  df-ring 20271  df-cring 20272  df-cnfld 21412  df-refld 21644

This theorem is referenced by:  redvr  21656  rrxbase  25437  rrxcph  25441  rrxds  25442  rrx0  25446  reofld  33489  qqhre  34277