MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re0g 20280
Description: The neutral element of the field of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
re0g 0 = (0g‘ℝfld)

Proof of Theorem re0g
StepHypRef Expression
1 cncrng 20088 . . 3 fld ∈ CRing
2 crngring 18873 . . 3 (ℂfld ∈ CRing → ℂfld ∈ Ring)
3 ringmnd 18871 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
41, 2, 3mp2b 10 . 2 fld ∈ Mnd
5 0re 10331 . 2 0 ∈ ℝ
6 ax-resscn 10282 . 2 ℝ ⊆ ℂ
7 df-refld 20273 . . 3 fld = (ℂflds ℝ)
8 cnfldbas 20071 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
9 cnfld0 20091 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
107, 8, 9ress0g 17633 . 2 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘ℝfld))
114, 5, 6, 10mp3an 1586 1 0 = (0g‘ℝfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3770  cfv 6102  cc 10223  cr 10224  0cc0 10225  0gc0g 16414  Mndcmnd 17608  Ringcrg 18862  CRingccrg 18863  fldccnfld 20067  fldcrefld 20272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-grp 17740  df-cmn 18509  df-mgp 18805  df-ring 18864  df-cring 18865  df-cnfld 20068  df-refld 20273
This theorem is referenced by:  redvr  20285  rrxbase  23513  rrxcph  23517  rrxds  23518  reofld  30355  qqhre  30579
  Copyright terms: Public domain W3C validator