Theorem amgm3d 40572

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm3d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 13343	. . . 4 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4		3nn 11717	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13078	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
7		ne0i 4300	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9		amgm3d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm3d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm3d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	s3cld 14234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13		wrdf 13867	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14		s3len 14256	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15		df-3 11702	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
16	14, 15	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
17	16	oveq2i 7167	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
18	17	feq2i 6506	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
19	13, 18	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
20	15	oveq2i 7167	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = (0..^(2 + 1))
21	20	feq2i 6506	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
22	19, 21	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
23	12, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
24	1, 3, 8, 23	amgmlem 25567	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25		cnring 20567	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
26	1	ringmgp 19303	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
27	25, 26	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
28	9	rpcnd 12434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29	10	rpcnd 12434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
30	11	rpcnd 12434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	jca32 518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32		cnfldbas 20549	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
33	1, 32	mgpbas 19245	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34		cnfldmul 20551	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
35	1, 34	mgpplusg 19243	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	33, 35	gsumws3 40569	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
37	27, 31, 36	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38		3nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
39		hashfzo0 13792	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
40	38, 39	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
41	40	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
42	37, 41	oveq12d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43		ringmnd 19306	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
44	25, 43	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45		cnfldadd 20550	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
46	32, 45	gsumws3 40569	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
47	44, 31, 46	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
48	47, 40	oveq12d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
49	24, 42, 48	3brtr3d 5097	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∅c0 4291   class class class wbr 5066  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  ℕ₀cn0 11898  ℝ⁺crp 12390  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862  ⟨“cs3 14204   Σ_g cgsu 16714  Mndcmnd 17911  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  ℂ_fldccnfld 20545  ↑_𝑐ccxp 25139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-cxp 25141

This theorem is referenced by: (None)