Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 42936
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢))↑𝑐(1 / 3)) ≀ ((𝐴 + (𝐡 + 𝐢)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 fzofi 13935 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 12287 . . . . 5 3 ∈ β„•
5 lbfzo0 13668 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 4333 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) β†’ (0..^3) β‰  βˆ…)
86, 7mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^3) β‰  βˆ…)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 14819 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 14465 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))βŸΆβ„+)
14 s3len 14841 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3
15 df-3 12272 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2760 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (2 + 1)
1716oveq2i 7416 . . . . . . 7 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 6706 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(2 + 1))βŸΆβ„+)
1913, 18sylib 217 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(2 + 1))βŸΆβ„+)
2015oveq2i 7416 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 6706 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^3)βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(2 + 1))βŸΆβ„+)
2219, 21sylibr 233 . . . 4 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^3)βŸΆβ„+)
2312, 22syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^3)βŸΆβ„+)
241, 3, 8, 23amgmlem 26483 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^3)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^3))))
25 cnring 20959 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
261ringmgp 20055 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
289rpcnd 13014 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2910rpcnd 13014 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3011rpcnd 13014 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3128, 29, 30jca32 516 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚)))
32 cnfldbas 20940 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
331, 32mgpbas 19987 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
34 cnfldmul 20942 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
351, 34mgpplusg 19985 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3633, 35gsumws3 42933 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢)))
3727, 31, 36syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢)))
38 3nn0 12486 . . . . 5 3 ∈ β„•0
39 hashfzo0 14386 . . . . 5 (3 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^3)))) = ((𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 20059 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 20941 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4632, 45gsumws3 42933 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 + (𝐡 + 𝐢)))
4744, 31, 46syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 + (𝐡 + 𝐢)))
4847, 40oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐡 + 𝐢)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 5178 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢))↑𝑐(1 / 3)) ≀ ((𝐴 + (𝐡 + 𝐢)) / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  β„•0cn0 12468  β„+crp 12970  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  βŸ¨β€œcs3 14789   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  β„‚fldccnfld 20936  β†‘𝑐ccxp 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator