Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 40418
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13332 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 11705 . . . . 5 3 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13067 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 232 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 4304 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 14224 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 13856 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14 s3len 14246 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15 df-3 11690 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2849 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
1716oveq2i 7159 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 6503 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
1913, 18sylib 219 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2015oveq2i 7159 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 6503 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2219, 21sylibr 235 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
2312, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
241, 3, 8, 23amgmlem 25481 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25 cnring 20483 . . . . 5 fld ∈ Ring
261ringmgp 19223 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
289rpcnd 12423 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2910rpcnd 12423 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3011rpcnd 12423 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3128, 29, 30jca32 516 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32 cnfldbas 20465 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
331, 32mgpbas 19165 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34 cnfldmul 20467 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
351, 34mgpplusg 19163 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3633, 35gsumws3 40415 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
3727, 31, 36syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38 3nn0 11904 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
39 hashfzo0 13781 . . . . 5 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 7166 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 19226 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 20466 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4632, 45gsumws3 40415 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4744, 31, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4847, 40oveq12d 7166 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 5094 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  c0 4295   class class class wbr 5063  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cle 10665   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  0cn0 11886  +crp 12379  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851  ⟨“cs3 14194   Σg cgsu 16704  Mndcmnd 17900  mulGrpcmgp 19159  Ringcrg 19217  fldccnfld 20461  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-s2 14200  df-s3 14201  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-ghm 18286  df-gim 18329  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-subrg 19453  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-refld 20665  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator