Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 41278
 Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13391 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 11753 . . . . 5 3 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13126 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 234 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 4233 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 14281 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 13918 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14 s3len 14303 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15 df-3 11738 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2781 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
1716oveq2i 7161 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 6490 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
1913, 18sylib 221 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2015oveq2i 7161 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 6490 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2219, 21sylibr 237 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
2312, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
241, 3, 8, 23amgmlem 25674 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25 cnring 20188 . . . . 5 fld ∈ Ring
261ringmgp 19371 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
289rpcnd 12474 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2910rpcnd 12474 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3011rpcnd 12474 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3128, 29, 30jca32 519 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32 cnfldbas 20170 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
331, 32mgpbas 19313 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34 cnfldmul 20172 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
351, 34mgpplusg 19311 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3633, 35gsumws3 41275 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
3727, 31, 36syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38 3nn0 11952 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
39 hashfzo0 13841 . . . . 5 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 7166 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 7168 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 19375 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 20171 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4632, 45gsumws3 41275 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4744, 31, 46syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4847, 40oveq12d 7168 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 5063 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∅c0 4225   class class class wbr 5032  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  ℂcc 10573  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   ≤ cle 10714   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  3c3 11730  ℕ0cn0 11934  ℝ+crp 12430  ..^cfzo 13082  ♯chash 13740  Word cword 13913  ⟨“cs3 14251   Σg cgsu 16772  Mndcmnd 17977  mulGrpcmgp 19307  Ringcrg 19365  ℂfldccnfld 20166  ↑𝑐ccxp 25246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-word 13914  df-concat 13970  df-s1 13997  df-s2 14257  df-s3 14258  df-shft 14474  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ef 15469  df-sin 15471  df-cos 15472  df-pi 15474  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-gim 18466  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-subrg 19601  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-refld 20370  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-cmp 22087  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-log 25247  df-cxp 25248 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator