Theorem amgm3d 45047

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm3d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 14042	. . . 4 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4		3nn 12348	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13759	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
7		ne0i 4290	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9		amgm3d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm3d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm3d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	s3cld 14947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13		wrdf 14587	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14		s3len 14969	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15		df-3 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
16	14, 15	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
17	16	oveq2i 7428	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
18	17	feq2i 6698	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
19	13, 18	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
20	15	oveq2i 7428	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = (0..^(2 + 1))
21	20	feq2i 6698	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
22	19, 21	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
23	12, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
24	1, 3, 8, 23	amgmlem 27234	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25		cnring 21613	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
26	1	ringmgp 20384	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
27	25, 26	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
28	9	rpcnd 13092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29	10	rpcnd 13092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
30	11	rpcnd 13092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	jca32 525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32		cnfldbas 21595	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
33	1, 32	mgpbas 20284	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34		cnfldmul 21599	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
35	1, 34	mgpplusg 20283	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	33, 35	gsumws3 45044	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
37	27, 31, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38		3nn0 12550	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
39		hashfzo0 14499	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
40	38, 39	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
41	40	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
42	37, 41	oveq12d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43		ringmnd 20388	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
44	25, 43	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45		cnfldadd 21597	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
46	32, 45	gsumws3 45044	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
47	44, 31, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
48	47, 40	oveq12d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
49	24, 42, 48	3brtr3d 5140	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   ≤ cle 11272   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  ℕ₀cn0 12532  ℝ⁺crp 13046  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Word cword 14582  ⟨“cs3 14917   Σ_g cgsu 17531  Mndcmnd 18842  mulGrpcmgp 20279  Ringcrg 20378  ℂ_fldccnfld 21591  ↑_𝑐ccxp 26800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-refld 21824  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-cmp 23618  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101  df-log 26801  df-cxp 26802

This theorem is used by: (None)