Theorem amgm3d 44212

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm3d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm3d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 14015	. . . 4 ⊢ (0..^3) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4		3nn 12345	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13739	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
7		ne0i 4341	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9		amgm3d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm3d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11		amgm3d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
12	9, 10, 11	s3cld 14911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13		wrdf 14557	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14		s3len 14933	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15		df-3 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 = (2 + 1)
16	14, 15	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
17	16	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
18	17	feq2i 6728	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
19	13, 18	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
20	15	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = (0..^(2 + 1))
21	20	feq2i 6728	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
22	19, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
23	12, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
24	1, 3, 8, 23	amgmlem 27033	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25		cnring 21403	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
26	1	ringmgp 20236	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
27	25, 26	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
28	9	rpcnd 13079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
29	10	rpcnd 13079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
30	11	rpcnd 13079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	jca32 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32		cnfldbas 21368	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
33	1, 32	mgpbas 20142	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34		cnfldmul 21372	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
35	1, 34	mgpplusg 20141	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
36	33, 35	gsumws3 44209	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
37	27, 31, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38		3nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
39		hashfzo0 14469	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
40	38, 39	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
41	40	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
42	37, 41	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43		ringmnd 20240	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
44	25, 43	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45		cnfldadd 21370	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
46	32, 45	gsumws3 44209	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
47	44, 31, 46	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
48	47, 40	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
49	24, 42, 48	3brtr3d 5174	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs3 14881   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  ℂ_fldccnfld 21364  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by: (None)