Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 43508
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢))↑𝑐(1 / 3)) ≀ ((𝐴 + (𝐡 + 𝐢)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 fzofi 13942 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 12292 . . . . 5 3 ∈ β„•
5 lbfzo0 13675 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 4329 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) β†’ (0..^3) β‰  βˆ…)
86, 7mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^3) β‰  βˆ…)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 14827 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 14473 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))βŸΆβ„+)
14 s3len 14849 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = 3
15 df-3 12277 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2754 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (2 + 1)
1716oveq2i 7415 . . . . . . 7 (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 6702 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(2 + 1))βŸΆβ„+)
1913, 18sylib 217 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(2 + 1))βŸΆβ„+)
2015oveq2i 7415 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 6702 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^3)βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^(2 + 1))βŸΆβ„+)
2219, 21sylibr 233 . . . 4 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^3)βŸΆβ„+)
2312, 22syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©:(0..^3)βŸΆβ„+)
241, 3, 8, 23amgmlem 26873 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^3)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^3))))
25 cnring 21275 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
261ringmgp 20142 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
289rpcnd 13021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2910rpcnd 13021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3011rpcnd 13021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
3128, 29, 30jca32 515 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚)))
32 cnfldbas 21240 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
331, 32mgpbas 20043 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
34 cnfldmul 21244 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
351, 34mgpplusg 20041 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3633, 35gsumws3 43505 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢)))
3727, 31, 36syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢)))
38 3nn0 12491 . . . . 5 3 ∈ β„•0
39 hashfzo0 14393 . . . . 5 (3 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 7422 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^3)))) = ((𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 20146 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 21242 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4632, 45gsumws3 43505 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚))) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 + (𝐡 + 𝐢)))
4744, 31, 46syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) = (𝐴 + (𝐡 + 𝐢)))
4847, 40oveq12d 7422 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐡 + 𝐢)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 5172 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· (𝐡 Β· 𝐢))↑𝑐(1 / 3)) ≀ ((𝐴 + (𝐡 + 𝐢)) / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250   / cdiv 11872  β„•cn 12213  2c2 12268  3c3 12269  β„•0cn0 12473  β„+crp 12977  ..^cfzo 13630  β™―chash 14293  Word cword 14468  βŸ¨β€œcs3 14797   Ξ£g cgsu 17393  Mndcmnd 18665  mulGrpcmgp 20037  Ringcrg 20136  β„‚fldccnfld 21236  β†‘𝑐ccxp 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-refld 21494  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-cxp 26442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator