Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm3d 44188
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 3. (Contributed by Stanislas Polu, 11-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm3d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm3d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
amgm3d.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm3d (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))

Proof of Theorem amgm3d
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 14011 . . . 4 (0..^3) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
4 3nn 12342 . . . . 5 3 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13735 . . . . 5 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 231 . . . 4 0 ∈ (0..^3)
7 ne0i 4346 . . . 4 (0 ∈ (0..^3) → (0..^3) ≠ ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (0..^3) ≠ ∅)
9 amgm3d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm3d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
11 amgm3d.2 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
129, 10, 11s3cld 14907 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+)
13 wrdf 14553 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+)
14 s3len 14929 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
15 df-3 12327 . . . . . . . . 9 3 = (2 + 1)
1614, 15eqtri 2762 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (2 + 1)
1716oveq2i 7441 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)) = (0..^(2 + 1))
1817feq2i 6728 . . . . . 6 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩))⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
1913, 18sylib 218 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2015oveq2i 7441 . . . . . 6 (0..^3) = (0..^(2 + 1))
2120feq2i 6728 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^(2 + 1))⟶ℝ+)
2219, 21sylibr 234 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
2312, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩:(0..^3)⟶ℝ+)
241, 3, 8, 23amgmlem 27047 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))))
25 cnring 21420 . . . . 5 fld ∈ Ring
261ringmgp 20256 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2725, 26mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
289rpcnd 13076 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2910rpcnd 13076 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3011rpcnd 13076 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3128, 29, 30jca32 515 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)))
32 cnfldbas 21385 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
331, 32mgpbas 20157 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
34 cnfldmul 21389 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
351, 34mgpplusg 20155 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3633, 35gsumws3 44185 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
3727, 31, 36syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
38 3nn0 12541 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
39 hashfzo0 14465 . . . . 5 (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4038, 39mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^3)) = 3)
4140oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^3))) = (1 / 3))
4237, 41oveq12d 7448 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^3)))) = ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)))
43 ringmnd 20260 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4425, 43mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
45 cnfldadd 21387 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
4632, 45gsumws3 44185 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4744, 31, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
4847, 40oveq12d 7448 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) / (♯‘(0..^3))) = ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
4924, 42, 483brtr3d 5178 1 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐵 · 𝐶))↑𝑐(1 / 3)) ≤ ((𝐴 + (𝐵 + 𝐶)) / 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  c0 4338   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  0cn0 12523  +crp 13031  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548  ⟨“cs3 14877   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381  𝑐ccxp 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator