Theorem amgm2d 43631

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 26940. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 13977	. . . 4 ⊢ (0..^2) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4		2nn 12321	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13710	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
7	6	ne0ii 4339	. . . 4 ⊢ (0..^2) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9		amgm2d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	9, 10	s2cld 14860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12		wrdf 14507	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13		s2len 14878	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
14	13	eqcomi 2736	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
15	14	oveq2i 7435	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
16	15	feq2i 6717	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
17	12, 16	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18	11, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
19	1, 3, 8, 18	amgmlem 26940	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20		cnring 21323	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
21	1	ringmgp 20184	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
22	20, 21	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
23	9	rpcnd 13056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24	10	rpcnd 13056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25		cnfldbas 21288	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	1, 25	mgpbas 20085	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfldmul 21292	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	1, 27	mgpplusg 20083	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	26, 28	gsumws2 18799	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
30	22, 23, 24, 29	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31		2nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		hashfzo0 14427	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
33	31, 32	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
34	33	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
35	30, 34	oveq12d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36		ringmnd 20188	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
37	20, 36	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38		cnfldadd 21290	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
39	25, 38	gsumws2 18799	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
40	37, 23, 24, 39	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
41	40, 33	oveq12d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
42	19, 35, 41	3brtr3d 5181	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ∅c0 4324   class class class wbr 5150  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  ℂcc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149   ≤ cle 11285   / cdiv 11907  ℕcn 12248  2c2 12303  ℕ₀cn0 12508  ℝ⁺crp 13012  ..^cfzo 13665  ♯chash 14327  Word cword 14502  ⟨“cs2 14830   Σ_g cgsu 17427  Mndcmnd 18699  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20178  ℂ_fldccnfld 21284  ↑_𝑐ccxp 26507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-s2 14837  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-refld 21542  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509

This theorem is referenced by: (None)