Theorem amgm2d 45157

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 27299. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 14097	. . . 4 ⊢ (0..^2) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4		2nn 12397	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13814	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
7	6	ne0ii 4290	. . . 4 ⊢ (0..^2) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9		amgm2d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	9, 10	s2cld 15002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12		wrdf 14643	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13		s2len 15020	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
14	13	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
15	14	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
16	15	feq2i 6693	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
17	12, 16	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18	11, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
19	1, 3, 8, 18	amgmlem 27299	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20		cnring 21680	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
21	1	ringmgp 20445	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
22	20, 21	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
23	9	rpcnd 13147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24	10	rpcnd 13147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25		cnfldbas 21662	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	1, 25	mgpbas 20345	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfldmul 21666	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	1, 27	mgpplusg 20344	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	26, 28	gsumws2 19018	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
30	22, 23, 24, 29	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31		2nn0 12604	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		hashfzo0 14555	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
33	31, 32	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
34	33	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
35	30, 34	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36		ringmnd 20450	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
37	20, 36	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38		cnfldadd 21664	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
39	25, 38	gsumws2 19018	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
40	37, 23, 24, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
41	40, 33	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
42	19, 35, 41	3brtr3d 5136	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   ≤ cle 11325   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℝ⁺crp 13101  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638  ⟨“cs2 14972   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  mulGrpcmgp 20340  Ringcrg 20439  ℂ_fldccnfld 21658  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-refld 21891  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-cmp 23685  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by: (None)