Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2d 40891
 Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 25578. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13341 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 11702 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13076 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 234 . . . . 5 0 ∈ (0..^2)
76ne0ii 4256 . . . 4 (0..^2) ≠ ∅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgm2d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14228 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 13866 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13 s2len 14246 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1413eqcomi 2810 . . . . . . 7 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
1514oveq2i 7150 . . . . . 6 (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
1615feq2i 6483 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1712, 16sylibr 237 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1811, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
191, 3, 8, 18amgmlem 25578 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20 cnring 20116 . . . . 5 fld ∈ Ring
211ringmgp 19299 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2220, 21mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
239rpcnd 12425 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2410rpcnd 12425 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
25 cnfldbas 20098 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
261, 25mgpbas 19241 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27 cnfldmul 20100 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
281, 27mgpplusg 19239 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2926, 28gsumws2 18002 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
3022, 23, 24, 29syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31 2nn0 11906 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
32 hashfzo0 13791 . . . . 5 (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3331, 32mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3433oveq2d 7155 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
3530, 34oveq12d 7157 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36 ringmnd 19303 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3720, 36mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38 cnfldadd 20099 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3925, 38gsumws2 18002 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4037, 23, 24, 39syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4140, 33oveq12d 7157 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
4219, 35, 413brtr3d 5064 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∅c0 4246   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℝ+crp 12381  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690  Word cword 13861  ⟨“cs2 14198   Σg cgsu 16709  Mndcmnd 17906  mulGrpcmgp 19235  Ringcrg 19293  ℂfldccnfld 20094  ↑𝑐ccxp 25150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-gim 18394  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-refld 20297  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator