Theorem amgm2d 45291

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 27322. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 14120	. . . 4 ⊢ (0..^2) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4		2nn 12419	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13837	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
7	6	ne0ii 4289	. . . 4 ⊢ (0..^2) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9		amgm2d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	9, 10	s2cld 15026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12		wrdf 14666	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13		s2len 15044	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
14	13	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
15	14	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
16	15	feq2i 6701	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
17	12, 16	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18	11, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
19	1, 3, 8, 18	amgmlem 27322	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20		cnring 21705	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
21	1	ringmgp 20470	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
22	20, 21	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
23	9	rpcnd 13169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24	10	rpcnd 13169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25		cnfldbas 21687	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	1, 25	mgpbas 20370	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfldmul 21691	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	1, 27	mgpplusg 20369	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	26, 28	gsumws2 19043	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
30	22, 23, 24, 29	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31		2nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		hashfzo0 14578	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
33	31, 32	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
34	33	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
35	30, 34	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36		ringmnd 20475	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
37	20, 36	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38		cnfldadd 21689	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
39	25, 38	gsumws2 19043	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
40	37, 23, 24, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
41	40, 33	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
42	19, 35, 41	3brtr3d 5135	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℝ⁺crp 13123  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661  ⟨“cs2 14996   Σ_g cgsu 17616  Mndcmnd 18928  mulGrpcmgp 20365  Ringcrg 20464  ℂ_fldccnfld 21683  ↑_𝑐ccxp 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-gim 19478  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-drng 20987  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-refld 21916  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-cmp 23710  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890

This theorem is used by: (None)