Theorem amgm2d 44548

Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 26968. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgm2d.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgm2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2		fzofi 13909	. . . 4 ⊢ (0..^2) ∈ Fin
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4		2nn 12230	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		lbfzo0 13627	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
6	4, 5	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
7	6	ne0ii 4298	. . . 4 ⊢ (0..^2) ≠ ∅
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9		amgm2d.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
10		amgm2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
11	9, 10	s2cld 14806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12		wrdf 14453	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13		s2len 14824	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
14	13	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
15	14	oveq2i 7379	. . . . . 6 ⊢ (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
16	15	feq2i 6662	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
17	12, 16	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
18	11, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
19	1, 3, 8, 18	amgmlem 26968	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20		cnring 21357	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
21	1	ringmgp 20186	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
22	20, 21	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
23	9	rpcnd 12963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24	10	rpcnd 12963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25		cnfldbas 21325	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	1, 25	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27		cnfldmul 21329	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
28	1, 27	mgpplusg 20091	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
29	26, 28	gsumws2 18779	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
30	22, 23, 24, 29	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		hashfzo0 14365	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
33	31, 32	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
34	33	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
35	30, 34	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36		ringmnd 20190	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
37	20, 36	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38		cnfldadd 21327	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
39	25, 38	gsumws2 18779	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
40	37, 23, 24, 39	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
41	40, 33	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
42	19, 35, 41	3brtr3d 5131	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℝ⁺crp 12917  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448  ⟨“cs2 14776   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  ℂ_fldccnfld 21321  ↑_𝑐ccxp 26532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-refld 21572  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-cxp 26534

This theorem is referenced by: (None)