Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2d 42559
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 26355. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm2d.0 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm2d (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)↑𝑐(1 / 2)) ≀ ((𝐴 + 𝐡) / 2))

Proof of Theorem amgm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 fzofi 13885 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 12231 . . . . . 6 2 ∈ β„•
5 lbfzo0 13618 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ β„•)
64, 5mpbir 230 . . . . 5 0 ∈ (0..^2)
76ne0ii 4298 . . . 4 (0..^2) β‰  βˆ…
87a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (0..^2) β‰  βˆ…)
9 amgm2d.0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm2d.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14766 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 14413 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+)
13 s2len 14784 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = 2
1413eqcomi 2742 . . . . . . 7 2 = (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)
1514oveq2i 7369 . . . . . 6 (0..^2) = (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))
1615feq2i 6661 . . . . 5 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+ ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©))βŸΆβ„+)
1712, 16sylibr 233 . . . 4 (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word ℝ+ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
1811, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©:(0..^2)βŸΆβ„+)
191, 3, 8, 18amgmlem 26355 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^2)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^2))))
20 cnring 20835 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
211ringmgp 19975 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
2220, 21mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
239rpcnd 12964 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2410rpcnd 12964 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
25 cnfldbas 20816 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
261, 25mgpbas 19907 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
27 cnfldmul 20818 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
281, 27mgpplusg 19905 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
2926, 28gsumws2 18657 . . . 4 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = (𝐴 Β· 𝐡))
3022, 23, 24, 29syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = (𝐴 Β· 𝐡))
31 2nn0 12435 . . . . 5 2 ∈ β„•0
32 hashfzo0 14336 . . . . 5 (2 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^2)) = 2)
3331, 32mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(0..^2)) = 2)
3433oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜(0..^2))) = (1 / 2))
3530, 34oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©)↑𝑐(1 / (β™―β€˜(0..^2)))) = ((𝐴 Β· 𝐡)↑𝑐(1 / 2)))
36 ringmnd 19979 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
3720, 36mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
38 cnfldadd 20817 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3925, 38gsumws2 18657 . . . 4 ((β„‚fld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = (𝐴 + 𝐡))
4037, 23, 24, 39syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) = (𝐴 + 𝐡))
4140, 33oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©) / (β™―β€˜(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐡) / 2))
4219, 35, 413brtr3d 5137 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)↑𝑐(1 / 2)) ≀ ((𝐴 + 𝐡) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„+crp 12920  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408  βŸ¨β€œcs2 14736   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  β„‚fldccnfld 20812  β†‘𝑐ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-s2 14743  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-gim 19054  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-subrg 20234  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator