Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2d 39001
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 24930. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2806 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 12997 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 11462 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 12732 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 222 . . . . 5 0 ∈ (0..^2)
76ne0ii 4125 . . . 4 (0..^2) ≠ ∅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgm2d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 13840 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 13521 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13 s2len 13858 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1413eqcomi 2815 . . . . . . 7 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
1514oveq2i 6885 . . . . . 6 (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
1615feq2i 6248 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1712, 16sylibr 225 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1811, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
191, 3, 8, 18amgmlem 24930 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20 cnring 19976 . . . . 5 fld ∈ Ring
211ringmgp 18755 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2220, 21mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
239rpcnd 12088 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2410rpcnd 12088 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
25 cnfldbas 19958 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
261, 25mgpbas 18697 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27 cnfldmul 19960 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
281, 27mgpplusg 18695 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2926, 28gsumws2 17584 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
3022, 23, 24, 29syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31 2nn0 11576 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
32 hashfzo0 13434 . . . . 5 (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3331, 32mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3433oveq2d 6890 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
3530, 34oveq12d 6892 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36 ringmnd 18758 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3720, 36mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38 cnfldadd 19959 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3925, 38gsumws2 17584 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4037, 23, 24, 39syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4140, 33oveq12d 6892 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
4219, 35, 413brtr3d 4875 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  c0 4116   class class class wbr 4844  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  cc 10219  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226  cle 10360   / cdiv 10969  cn 11305  2c2 11356  0cn0 11559  +crp 12046  ..^cfzo 12689  chash 13337  Word cword 13502  ⟨“cs2 13810   Σg cgsu 16306  Mndcmnd 17499  mulGrpcmgp 18691  Ringcrg 18749  fldccnfld 19954  𝑐ccxp 24516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-word 13510  df-concat 13512  df-s1 13513  df-s2 13817  df-shft 14030  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-mulg 17746  df-subg 17793  df-ghm 17860  df-gim 17903  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-drng 18953  df-subrg 18982  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-refld 20160  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23844  df-dv 23845  df-log 24517  df-cxp 24518
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator