Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgm2d 43628
Description: Arithmetic-geometric mean inequality for 𝑛 = 2, derived from amgmlem 26935. (Contributed by Stanislas Polu, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
amgm2d.0 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
amgm2d.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgm2d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))

Proof of Theorem amgm2d
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
2 fzofi 13972 . . . 4 (0..^2) ∈ Fin
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
4 2nn 12316 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 lbfzo0 13705 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
64, 5mpbir 230 . . . . 5 0 ∈ (0..^2)
76ne0ii 4338 . . . 4 (0..^2) ≠ ∅
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^2) ≠ ∅)
9 amgm2d.0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
10 amgm2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
119, 10s2cld 14855 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+)
12 wrdf 14502 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
13 s2len 14873 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
1413eqcomi 2737 . . . . . . 7 2 = (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩)
1514oveq2i 7431 . . . . . 6 (0..^2) = (0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))
1615feq2i 6714 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩))⟶ℝ+)
1712, 16sylibr 233 . . . 4 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word ℝ+ → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
1811, 17syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩:(0..^2)⟶ℝ+)
191, 3, 8, 18amgmlem 26935 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) ≤ ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))))
20 cnring 21318 . . . . 5 fld ∈ Ring
211ringmgp 20179 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2220, 21mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
239rpcnd 13051 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2410rpcnd 13051 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
25 cnfldbas 21283 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
261, 25mgpbas 20080 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
27 cnfldmul 21287 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
281, 27mgpplusg 20078 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
2926, 28gsumws2 18794 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
3022, 23, 24, 29syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 · 𝐵))
31 2nn0 12520 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
32 hashfzo0 14422 . . . . 5 (2 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3331, 32mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(0..^2)) = 2)
3433oveq2d 7436 . . 3 (𝜑 → (1 / (♯‘(0..^2))) = (1 / 2))
3530, 34oveq12d 7438 . 2 (𝜑 → (((mulGrp‘ℂfld) Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩)↑𝑐(1 / (♯‘(0..^2)))) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)))
36 ringmnd 20183 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3720, 36mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
38 cnfldadd 21285 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
3925, 38gsumws2 18794 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4037, 23, 24, 39syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) = (𝐴 + 𝐵))
4140, 33oveq12d 7438 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ⟨“𝐴𝐵”⟩) / (♯‘(0..^2))) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
4219, 35, 413brtr3d 5179 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑐(1 / 2)) ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  c0 4323   class class class wbr 5148  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  cle 11280   / cdiv 11902  cn 12243  2c2 12298  0cn0 12503  +crp 13007  ..^cfzo 13660  chash 14322  Word cword 14497  ⟨“cs2 14825   Σg cgsu 17422  Mndcmnd 18694  mulGrpcmgp 20074  Ringcrg 20173  fldccnfld 21279  𝑐ccxp 26502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-gim 19213  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-refld 21537  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator