MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1mavmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1mavmul 21920
Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1mavmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1mavmul.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
1mavmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1mavmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1mavmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Assertion
Ref Expression
1mavmul (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)

Proof of Theorem 1mavmul
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 1mavmul.t . . 3 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 1mavmul.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2733 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5 1mavmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 1mavmul.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 eqid 2733 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
81fveq2i 6849 . . . . 5 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
91, 7, 8mat1bas 21821 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
105, 6, 9syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11 1mavmul.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mavmulval 21917 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
151, 13, 14mat1 21819 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
166, 5, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
1716oveqdr 7389 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—))
1817oveq1d 7376 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1918mpteq2dv 5211 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
2019oveq2d 7377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
21 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
22 eqeq12 2750 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘—))
2322ifbid 4513 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
2423adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
25 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
27 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
28 fvexd 6861 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
29 fvexd 6861 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
3028, 29ifcld 4536 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
3121, 24, 26, 27, 30ovmpod 7511 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
3231oveq1d 7376 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
33 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3433adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3534oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
365adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
383fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ต โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
4039, 6elmapd 8785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†” ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต))
41 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4241ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4340, 42syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)))
4411, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4645imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
473, 4, 13ringlidm 20000 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4837, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
50 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5150equcoms 2024 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5251adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5335, 49, 523eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
54 iftrue 4496 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5554equcoms 2024 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5655adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5753, 56eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
58 iffalse 4499 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
5958oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
613, 4, 14ringlz 20019 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6237, 46, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6362adantl 483 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
64 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘— = ๐‘–)
65 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6664, 65sylnbi 330 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6766eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6867adantr 482 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6960, 63, 683eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7057, 69pm2.61ian 811 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7132, 70eqtrd 2773 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7271mpteq2dva 5209 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))))
7372oveq2d 7377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))))
74 ringmnd 19982 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
755, 74syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
7675adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
776adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
78 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
79 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
8079, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8180ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8240, 81syl6bi 253 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
8311, 82mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8483imp 408 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8514, 76, 77, 25, 78, 84gsummptif1n0 19751 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8620, 73, 853eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8786mpteq2dva 5209 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
88 ffn 6672 . . . . 5 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
8940, 88syl6bi 253 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘))
9011, 89mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
91 eqcom 2740 . . . 4 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
92 dffn5 6905 . . . 4 (๐‘Œ Fn ๐‘ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
9391, 92bitr4i 278 . . 3 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ Fn ๐‘)
9490, 93sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ)
9512, 87, 943eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  ifcif 4490  โŸจcop 4596   โ†ฆ cmpt 5192   Fn wfn 6495  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329   ฮฃg cgsu 17330  Mndcmnd 18564  1rcur 19921  Ringcrg 19972   Mat cmat 21777   maVecMul cmvmul 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-mvmul 21913
This theorem is referenced by:  slesolinv  22052  slesolinvbi  22053
  Copyright terms: Public domain W3C validator