MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1mavmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1mavmul 22049
Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1mavmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1mavmul.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
1mavmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1mavmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1mavmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Assertion
Ref Expression
1mavmul (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)

Proof of Theorem 1mavmul
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 1mavmul.t . . 3 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 1mavmul.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2732 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5 1mavmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 1mavmul.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 eqid 2732 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
81fveq2i 6894 . . . . 5 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
91, 7, 8mat1bas 21950 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
105, 6, 9syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11 1mavmul.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mavmulval 22046 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
13 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
151, 13, 14mat1 21948 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
166, 5, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
1716oveqdr 7436 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—))
1817oveq1d 7423 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1918mpteq2dv 5250 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
2019oveq2d 7424 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
21 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
22 eqeq12 2749 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘—))
2322ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
25 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
27 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
28 fvexd 6906 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
29 fvexd 6906 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
3028, 29ifcld 4574 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
3121, 24, 26, 27, 30ovmpod 7559 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
3231oveq1d 7423 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
33 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3534oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
365adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
383fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ต โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
4039, 6elmapd 8833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†” ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต))
41 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4241ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4340, 42syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)))
4411, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4645imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
473, 4, 13ringlidm 20085 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4837, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
50 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5150equcoms 2023 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5335, 49, 523eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
54 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5554equcoms 2023 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5655adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5753, 56eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
58 iffalse 4537 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
5958oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
613, 4, 14ringlz 20106 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6237, 46, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
64 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘— = ๐‘–)
65 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6664, 65sylnbi 329 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6766eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6867adantr 481 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6960, 63, 683eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7057, 69pm2.61ian 810 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7132, 70eqtrd 2772 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7271mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))))
7372oveq2d 7424 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))))
74 ringmnd 20065 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
755, 74syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
7675adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
776adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
78 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
79 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
8079, 3eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8180ex 413 . . . . . . . 8 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8240, 81syl6bi 252 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
8311, 82mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8483imp 407 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8514, 76, 77, 25, 78, 84gsummptif1n0 19833 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8620, 73, 853eqtrd 2776 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8786mpteq2dva 5248 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
88 ffn 6717 . . . . 5 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
8940, 88syl6bi 252 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘))
9011, 89mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
91 eqcom 2739 . . . 4 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
92 dffn5 6950 . . . 4 (๐‘Œ Fn ๐‘ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
9391, 92bitr4i 277 . . 3 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ Fn ๐‘)
9490, 93sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ)
9512, 87, 943eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4528  โŸจcop 4634   โ†ฆ cmpt 5231   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384   ฮฃg cgsu 17385  Mndcmnd 18624  1rcur 20003  Ringcrg 20055   Mat cmat 21906   maVecMul cmvmul 22041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mvmul 22042
This theorem is referenced by:  slesolinv  22181  slesolinvbi  22182
  Copyright terms: Public domain W3C validator