Theorem 1mavmul 22464

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8	1	fveq2i 6831	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
9	1, 7, 8	mat1bas 22365	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
11		1mavmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 22461	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
13		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	1, 13, 14	mat1 22363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
16	6, 5, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	16	oveqdr 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗))
18	17	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
19	18	mpteq2dv 5187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
20	19	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
21		eqidd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		eqeq12 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
23	22	ifbid 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
28		fvexd 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (1r‘𝑅) ∈ V)
29		fvexd 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	28, 29	ifcld 4521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
31	21, 24, 26, 27, 30	ovmpod 7504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	31	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
33		iftrue 4480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
35	34	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
38	3	fvexi 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40	39, 6	elmapd 8770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ 𝑌:𝑁⟶𝐵))
41		ffvelcdm 7020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
43	40, 42	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)))
44	11, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 13	ringlidm 20189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
48	37, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
50		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
51	50	equcoms 2021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
53	35, 49, 52	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑖))
54		iftrue 4480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
55	54	equcoms 2021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
57	53, 56	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
58		iffalse 4483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	58	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
61	3, 4, 14	ringlz 20213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
62	37, 46, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
64		eqcom 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
65		iffalse 4483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
66	64, 65	sylnbi 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
67	66	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
70	57, 69	pm2.61ian 811	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
71	32, 70	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
72	71	mpteq2dva 5186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))))
73	72	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))))
74		ringmnd 20163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
75	5, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
76	75	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
77	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
78		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
79		ffvelcdm 7020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ 𝐵)
80	79, 3	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
81	80	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
82	40, 81	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))))
83	11, 82	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
84	83	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
85	14, 76, 77, 25, 78, 84	gsummptif1n0 19880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))) = (𝑌‘𝑖))
86	20, 73, 85	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑌‘𝑖))
87	86	mpteq2dva 5186	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
88		ffn 6656	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → 𝑌 Fn 𝑁)
89	40, 88	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌 Fn 𝑁))
90	11, 89	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑁)
91		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
92		dffn5 6886	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑁 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
93	91, 92	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 Fn 𝑁)
94	90, 93	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌)
95	12, 87, 94	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ifcif 4474  ⟨cop 4581   ↦ cmpt 5174   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345   Σ_g cgsu 17346  Mndcmnd 18644  1_rcur 20101  Ringcrg 20153   Mat cmat 22323   maVecMul cmvmul 22456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-mvmul 22457

This theorem is referenced by:  slesolinv  22596  slesolinvbi  22597