Theorem 1mavmul 22776

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8	1	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
9	1, 7, 8	mat1bas 22677	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
10	5, 6, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
11		1mavmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 22773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
13		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	1, 13, 14	mat1 22675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
16	6, 5, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	16	oveqdr 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗))
18	17	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
19	18	mpteq2dv 5203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
20	19	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
21		eqidd 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		eqeq12 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
23	22	ifbid 4509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
25		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
28		fvexd 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (1r‘𝑅) ∈ V)
29		fvexd 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	28, 29	ifcld 4532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
31	21, 24, 26, 27, 30	ovmpod 7569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	31	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
33		iftrue 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
35	34	oveq1d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
36	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
38	3	fvexi 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40	39, 6	elmapd 8843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ 𝑌:𝑁⟶𝐵))
41		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
43	40, 42	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)))
44	11, 43	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
46	45	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 13	ringlidm 20416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
48	37, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
50		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
51	50	equcoms 2053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
53	35, 49, 52	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑖))
54		iftrue 4491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
55	54	equcoms 2053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
57	53, 56	eqtr4d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
58		iffalse 4494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	58	oveq1d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
61	3, 4, 14	ringlz 20441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
62	37, 46, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
63	62	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
64		eqcom 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
65		iffalse 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
66	64, 65	sylnbi 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
67	66	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
68	67	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
70	57, 69	pm2.61ian 824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
71	32, 70	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
72	71	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))))
73	72	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))))
74		ringmnd 20388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
75	5, 74	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
76	75	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
77	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
78		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
79		ffvelcdm 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ 𝐵)
80	79, 3	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
81	80	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
82	40, 81	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))))
83	11, 82	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
84	83	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
85	14, 76, 77, 25, 78, 84	gsummptif1n0 20099	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))) = (𝑌‘𝑖))
86	20, 73, 85	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑌‘𝑖))
87	86	mpteq2dva 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
88		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → 𝑌 Fn 𝑁)
89	40, 88	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌 Fn 𝑁))
90	11, 89	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑁)
91		eqcom 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
92		dffn5 6940	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑁 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
93	91, 92	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 Fn 𝑁)
94	90, 93	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌)
95	12, 87, 94	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ifcif 4485  ⟨cop 4593   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  Mndcmnd 18842  1_rcur 20326  Ringcrg 20378   Mat cmat 22635   maVecMul cmvmul 22768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mamu 22619  df-mat 22636  df-mvmul 22769

This theorem is used by:  slesolinv  22911  slesolinvbi  22912