MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1mavmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1mavmul 22468
Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1mavmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1mavmul.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
1mavmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1mavmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1mavmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Assertion
Ref Expression
1mavmul (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)

Proof of Theorem 1mavmul
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 1mavmul.t . . 3 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 1mavmul.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2727 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5 1mavmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 1mavmul.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 eqid 2727 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
81fveq2i 6903 . . . . 5 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
91, 7, 8mat1bas 22369 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
105, 6, 9syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11 1mavmul.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mavmulval 22465 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
13 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
14 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
151, 13, 14mat1 22367 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
166, 5, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
1716oveqdr 7452 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—))
1817oveq1d 7439 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1918mpteq2dv 5252 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
2019oveq2d 7440 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
21 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
22 eqeq12 2744 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘—))
2322ifbid 4553 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
2423adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
25 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
27 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
28 fvexd 6915 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
29 fvexd 6915 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
3028, 29ifcld 4576 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
3121, 24, 26, 27, 30ovmpod 7577 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
3231oveq1d 7439 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
33 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3534oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
365adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
383fvexi 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ต โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
4039, 6elmapd 8863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†” ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต))
41 ffvelcdm 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4241ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4340, 42biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)))
4411, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4645imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
473, 4, 13ringlidm 20210 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4837, 46, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4948adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
50 fveq2 6900 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5150equcoms 2015 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5251adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5335, 49, 523eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
54 iftrue 4536 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5554equcoms 2015 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5655adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5753, 56eqtr4d 2770 . . . . . . . 8 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
58 iffalse 4539 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
5958oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
613, 4, 14ringlz 20234 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6237, 46, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6362adantl 480 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
64 eqcom 2734 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘— = ๐‘–)
65 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6664, 65sylnbi 329 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6766eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6867adantr 479 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6960, 63, 683eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7057, 69pm2.61ian 810 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7132, 70eqtrd 2767 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7271mpteq2dva 5250 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))))
7372oveq2d 7440 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))))
74 ringmnd 20188 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
755, 74syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
7675adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
776adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
78 eqid 2727 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
79 ffvelcdm 7094 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
8079, 3eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8180ex 411 . . . . . . . 8 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8240, 81biimtrdi 252 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
8311, 82mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8483imp 405 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8514, 76, 77, 25, 78, 84gsummptif1n0 19926 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8620, 73, 853eqtrd 2771 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8786mpteq2dva 5250 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
88 ffn 6725 . . . . 5 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
8940, 88biimtrdi 252 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘))
9011, 89mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
91 eqcom 2734 . . . 4 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
92 dffn5 6960 . . . 4 (๐‘Œ Fn ๐‘ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
9391, 92bitr4i 277 . . 3 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ Fn ๐‘)
9490, 93sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ)
9512, 87, 943eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3471  ifcif 4530  โŸจcop 4636   โ†ฆ cmpt 5233   Fn wfn 6546  โŸถwf 6547  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   โˆˆ cmpo 7426   โ†‘m cmap 8849  Fincfn 8968  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  0gc0g 17426   ฮฃg cgsu 17427  Mndcmnd 18699  1rcur 20126  Ringcrg 20178   Mat cmat 22325   maVecMul cmvmul 22460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-mamu 22304  df-mat 22326  df-mvmul 22461
This theorem is referenced by:  slesolinv  22600  slesolinvbi  22601
  Copyright terms: Public domain W3C validator