MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1mavmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1mavmul 22401
Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
1mavmul.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1mavmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1mavmul.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
1mavmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1mavmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1mavmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
Assertion
Ref Expression
1mavmul (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)

Proof of Theorem 1mavmul
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1mavmul.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 1mavmul.t . . 3 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
3 1mavmul.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2726 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
5 1mavmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 1mavmul.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 eqid 2726 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
81fveq2i 6887 . . . . 5 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
91, 7, 8mat1bas 22302 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
105, 6, 9syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11 1mavmul.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mavmulval 22398 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))))
13 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
14 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
151, 13, 14mat1 22300 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
166, 5, 15syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
1716oveqdr 7432 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—) = (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—))
1817oveq1d 7419 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
1918mpteq2dv 5243 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))
2019oveq2d 7420 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))))
21 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
22 eqeq12 2743 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†” ๐‘– = ๐‘—))
2322ifbid 4546 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
2423adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘– โˆง ๐‘ฆ = ๐‘—)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
25 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
27 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
28 fvexd 6899 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
29 fvexd 6899 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
3028, 29ifcld 4569 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
3121, 24, 26, 27, 30ovmpod 7555 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
3231oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
33 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3534oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
365adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
383fvexi 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐ต โˆˆ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ V)
4039, 6elmapd 8833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†” ๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต))
41 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
4241ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4340, 42biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)))
4411, 43mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต))
4645imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต)
473, 4, 13ringlidm 20166 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4837, 46, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
4948adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘—))
50 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5150equcoms 2015 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘—) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5335, 49, 523eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
54 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5554equcoms 2015 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
5753, 56eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 ((๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
58 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
5958oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))
613, 4, 14ringlz 20190 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Œโ€˜๐‘—) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6237, 46, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
6362adantl 481 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = (0gโ€˜๐‘…))
64 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘— = ๐‘–)
65 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘— = ๐‘– โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6664, 65sylnbi 330 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
6766eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐‘– = ๐‘— โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6867adantr 480 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (0gโ€˜๐‘…) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
6960, 63, 683eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘– = ๐‘— โˆง ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7057, 69pm2.61ian 809 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7132, 70eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)) = if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
7271mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))))
7372oveq2d 7420 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘, ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))))
74 ringmnd 20146 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
755, 74syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
7675adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
776adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
78 eqid 2726 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))
79 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
8079, 3eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8180ex 412 . . . . . . . 8 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8240, 81biimtrdi 252 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
8311, 82mpd 15 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
8483imp 406 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8514, 76, 77, 25, 78, 84gsummptif1n0 19884 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐‘–, (๐‘Œโ€˜๐‘–), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8620, 73, 853eqtrd 2770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—)))) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8786mpteq2dva 5241 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–(1rโ€˜๐ด)๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
88 ffn 6710 . . . . 5 (๐‘Œ:๐‘โŸถ๐ต โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
8940, 88biimtrdi 252 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘))
9011, 89mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐‘)
91 eqcom 2733 . . . 4 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
92 dffn5 6943 . . . 4 (๐‘Œ Fn ๐‘ โ†” ๐‘Œ = (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
9391, 92bitr4i 278 . . 3 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ Fn ๐‘)
9490, 93sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘Œโ€˜๐‘–)) = ๐‘Œ)
9512, 87, 943eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ ((1rโ€˜๐ด) ยท ๐‘Œ) = ๐‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523  โŸจcop 4629   โ†ฆ cmpt 5224   Fn wfn 6531  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392   ฮฃg cgsu 17393  Mndcmnd 18665  1rcur 20084  Ringcrg 20136   Mat cmat 22258   maVecMul cmvmul 22393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-mamu 22237  df-mat 22259  df-mvmul 22394
This theorem is referenced by:  slesolinv  22533  slesolinvbi  22534
  Copyright terms: Public domain W3C validator