Theorem 1mavmul 22570

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8	1	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
9	1, 7, 8	mat1bas 22471	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
11		1mavmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 22567	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	1, 13, 14	mat1 22469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
16	6, 5, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	16	oveqdr 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗))
18	17	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
19	18	mpteq2dv 5250	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
20	19	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
21		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		eqeq12 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
23	22	ifbid 4554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
28		fvexd 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (1r‘𝑅) ∈ V)
29		fvexd 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	28, 29	ifcld 4577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
31	21, 24, 26, 27, 30	ovmpod 7585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	31	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
33		iftrue 4537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
35	34	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
38	3	fvexi 6921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40	39, 6	elmapd 8879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ 𝑌:𝑁⟶𝐵))
41		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
43	40, 42	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)))
44	11, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 13	ringlidm 20283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
48	37, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
50		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
51	50	equcoms 2017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
53	35, 49, 52	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑖))
54		iftrue 4537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
55	54	equcoms 2017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
57	53, 56	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
58		iffalse 4540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	58	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
61	3, 4, 14	ringlz 20307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
62	37, 46, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
64		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
65		iffalse 4540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
66	64, 65	sylnbi 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
67	66	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
70	57, 69	pm2.61ian 812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
71	32, 70	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
72	71	mpteq2dva 5248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))))
73	72	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))))
74		ringmnd 20261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
75	5, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
76	75	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
77	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
78		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
79		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ 𝐵)
80	79, 3	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
81	80	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
82	40, 81	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))))
83	11, 82	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
84	83	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
85	14, 76, 77, 25, 78, 84	gsummptif1n0 19999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))) = (𝑌‘𝑖))
86	20, 73, 85	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑌‘𝑖))
87	86	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
88		ffn 6737	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → 𝑌 Fn 𝑁)
89	40, 88	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌 Fn 𝑁))
90	11, 89	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑁)
91		eqcom 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
92		dffn5 6967	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑁 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
93	91, 92	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 Fn 𝑁)
94	90, 93	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌)
95	12, 87, 94	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ifcif 4531  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Mndcmnd 18760  1_rcur 20199  Ringcrg 20251   Mat cmat 22427   maVecMul cmvmul 22562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-mvmul 22563

This theorem is referenced by:  slesolinv  22702  slesolinvbi  22703