Theorem 1mavmul 22554

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8	1	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
9	1, 7, 8	mat1bas 22455	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
11		1mavmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 22551	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	1, 13, 14	mat1 22453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
16	6, 5, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	16	oveqdr 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗))
18	17	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
19	18	mpteq2dv 5244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
20	19	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
21		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		eqeq12 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
23	22	ifbid 4549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
28		fvexd 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (1r‘𝑅) ∈ V)
29		fvexd 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	28, 29	ifcld 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
31	21, 24, 26, 27, 30	ovmpod 7585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	31	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
33		iftrue 4531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
35	34	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
38	3	fvexi 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40	39, 6	elmapd 8880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ 𝑌:𝑁⟶𝐵))
41		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
43	40, 42	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)))
44	11, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 13	ringlidm 20266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
48	37, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
50		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
51	50	equcoms 2019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
53	35, 49, 52	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑖))
54		iftrue 4531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
55	54	equcoms 2019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
57	53, 56	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
58		iffalse 4534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	58	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
61	3, 4, 14	ringlz 20290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
62	37, 46, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
64		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
65		iffalse 4534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
66	64, 65	sylnbi 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
70	57, 69	pm2.61ian 812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
71	32, 70	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
72	71	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))))
73	72	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))))
74		ringmnd 20240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
75	5, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
76	75	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
77	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
78		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
79		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ 𝐵)
80	79, 3	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
81	80	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
82	40, 81	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))))
83	11, 82	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
84	83	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
85	14, 76, 77, 25, 78, 84	gsummptif1n0 19984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))) = (𝑌‘𝑖))
86	20, 73, 85	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑌‘𝑖))
87	86	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
88		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → 𝑌 Fn 𝑁)
89	40, 88	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌 Fn 𝑁))
90	11, 89	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑁)
91		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
92		dffn5 6967	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑁 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
93	91, 92	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 Fn 𝑁)
94	90, 93	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌)
95	12, 87, 94	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ifcif 4525  ⟨cop 4632   ↦ cmpt 5225   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  1_rcur 20178  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411   maVecMul cmvmul 22546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-mvmul 22547

This theorem is referenced by:  slesolinv  22686  slesolinvbi  22687