Theorem 1mavmul 22523

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1mavmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
1mavmul.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
1mavmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
1mavmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
1mavmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		1mavmul.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		1mavmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		1mavmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		1mavmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
8	1	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
9	1, 7, 8	mat1bas 22424	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
10	5, 6, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
11		1mavmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 22520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	1, 13, 14	mat1 22422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
16	6, 5, 15	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
17	16	oveqdr 7388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑖(1r‘𝐴)𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗))
18	17	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
19	18	mpteq2dv 5180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))
20	19	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))))
21		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
22		eqeq12 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
23	22	ifbid 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
28		fvexd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (1r‘𝑅) ∈ V)
29		fvexd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ V)
30	28, 29	ifcld 4514	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ V)
31	21, 24, 26, 27, 30	ovmpod 7512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	31	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
33		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
35	34	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
36	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
38	3	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
40	39, 6	elmapd 8780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) ↔ 𝑌:𝑁⟶𝐵))
41		ffvelcdm 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
42	41	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
43	40, 42	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)))
44	11, 43	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵))
46	45	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵)
47	3, 4, 13	ringlidm 20241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
48	37, 46, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑗))
50		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
51	50	equcoms 2022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑖))
53	35, 49, 52	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (𝑌‘𝑖))
54		iftrue 4473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
55	54	equcoms 2022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (𝑌‘𝑖))
57	53, 56	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
58		iffalse 4476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
59	58	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))
61	3, 4, 14	ringlz 20265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌‘𝑗) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
62	37, 46, 61	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = (0g‘𝑅))
64		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑗 = 𝑖)
65		iffalse 4476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑗 = 𝑖 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
66	64, 65	sylnbi 330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
69	60, 63, 68	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
70	57, 69	pm2.61ian 812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
71	32, 70	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)) = if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
72	71	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))))
73	72	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))))
74		ringmnd 20215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
75	5, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
76	75	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
77	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
78		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))
79		ffvelcdm 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ 𝐵)
80	79, 3	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌:𝑁⟶𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
81	80	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
82	40, 81	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))))
83	11, 82	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
84	83	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
85	14, 76, 77, 25, 78, 84	gsummptif1n0 19932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (𝑌‘𝑖), (0g‘𝑅)))) = (𝑌‘𝑖))
86	20, 73, 85	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗)))) = (𝑌‘𝑖))
87	86	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(1r‘𝐴)𝑗)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
88		ffn 6662	. . . . 5 ⊢ (𝑌:𝑁⟶𝐵 → 𝑌 Fn 𝑁)
89	40, 88	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁) → 𝑌 Fn 𝑁))
90	11, 89	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 Fn 𝑁)
91		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
92		dffn5 6892	. . . 4 ⊢ (𝑌 Fn 𝑁 ↔ 𝑌 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)))
93	91, 92	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌 ↔ 𝑌 Fn 𝑁)
94	90, 93	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑌‘𝑖)) = 𝑌)
95	12, 87, 94	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝑌) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ifcif 4467  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  1_rcur 20153  Ringcrg 20205   Mat cmat 22382   maVecMul cmvmul 22515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-mamu 22366  df-mat 22383  df-mvmul 22516

This theorem is referenced by:  slesolinv  22655  slesolinvbi  22656