Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1mavmul.a |
. . 3
โข ๐ด = (๐ Mat ๐
) |
2 | | 1mavmul.t |
. . 3
โข ยท =
(๐
maVecMul โจ๐, ๐โฉ) |
3 | | 1mavmul.b |
. . 3
โข ๐ต = (Baseโ๐
) |
4 | | eqid 2733 |
. . 3
โข
(.rโ๐
) = (.rโ๐
) |
5 | | 1mavmul.r |
. . 3
โข (๐ โ ๐
โ Ring) |
6 | | 1mavmul.n |
. . 3
โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
7 | | eqid 2733 |
. . . . 5
โข
(Baseโ๐ด) =
(Baseโ๐ด) |
8 | 1 | fveq2i 6849 |
. . . . 5
โข
(1rโ๐ด) = (1rโ(๐ Mat ๐
)) |
9 | 1, 7, 8 | mat1bas 21821 |
. . . 4
โข ((๐
โ Ring โง ๐ โ Fin) โ
(1rโ๐ด)
โ (Baseโ๐ด)) |
10 | 5, 6, 9 | syl2anc 585 |
. . 3
โข (๐ โ (1rโ๐ด) โ (Baseโ๐ด)) |
11 | | 1mavmul.y |
. . 3
โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โm ๐)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11 | mavmulval 21917 |
. 2
โข (๐ โ
((1rโ๐ด)
ยท
๐) = (๐ โ ๐ โฆ (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐(1rโ๐ด)๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)))))) |
13 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
โข
(1rโ๐
) = (1rโ๐
) |
14 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
โข
(0gโ๐
) = (0gโ๐
) |
15 | 1, 13, 14 | mat1 21819 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โ
(1rโ๐ด) =
(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))) |
16 | 6, 5, 15 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (1rโ๐ด) = (๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))) |
17 | 16 | oveqdr 7389 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐(1rโ๐ด)๐) = (๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)) |
18 | 17 | oveq1d 7376 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐(1rโ๐ด)๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐))) |
19 | 18 | mpteq2dv 5211 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐(1rโ๐ด)๐)(.rโ๐
)(๐โ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)))) |
20 | 19 | oveq2d 7377 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐(1rโ๐ด)๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)))) = (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐))))) |
21 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
))) = (๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))) |
22 | | eqeq12 2750 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐) โ (๐ฅ = ๐ฆ โ ๐ = ๐)) |
23 | 22 | ifbid 4513 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐) โ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)) = if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))) |
24 | 23 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐ฅ = ๐ โง ๐ฆ = ๐)) โ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)) = if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))) |
25 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) |
26 | 25 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) |
27 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) |
28 | | fvexd 6861 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (1rโ๐
) โ V) |
29 | | fvexd 6861 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (0gโ๐
) โ V) |
30 | 28, 29 | ifcld 4536 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
)) โ V) |
31 | 21, 24, 26, 27, 30 | ovmpod 7511 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐) = if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))) |
32 | 31 | oveq1d 7376 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐))) |
33 | | iftrue 4496 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
)) = (1rโ๐
)) |
34 | 33 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
)) = (1rโ๐
)) |
35 | 34 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = ((1rโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐))) |
36 | 5 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐
โ Ring) |
37 | 36 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐
โ Ring) |
38 | 3 | fvexi 6860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ๐ต โ V |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ ๐ต โ V) |
40 | 39, 6 | elmapd 8785 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ โ (๐ต โm ๐) โ ๐:๐โถ๐ต)) |
41 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐:๐โถ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
42 | 41 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐:๐โถ๐ต โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ ๐ต)) |
43 | 40, 42 | syl6bi 253 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (๐ โ (๐ต โm ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ ๐ต))) |
44 | 11, 43 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ ๐ต)) |
45 | 44 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ ๐ต)) |
46 | 45 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
47 | 3, 4, 13 | ringlidm 20000 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐
โ Ring โง (๐โ๐) โ ๐ต) โ ((1rโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
48 | 37, 46, 47 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ((1rโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
49 | 48 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ ((1rโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
50 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
51 | 50 | equcoms 2024 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
52 | 51 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
53 | 35, 49, 52 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
54 | | iftrue 4496 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)) = (๐โ๐)) |
55 | 54 | equcoms 2024 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)) = (๐โ๐)) |
56 | 55 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)) = (๐โ๐)) |
57 | 53, 56 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
58 | | iffalse 4499 |
. . . . . . . . . . 11
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
)) = (0gโ๐
)) |
59 | 58 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . 10
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = ((0gโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐))) |
60 | 59 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((ยฌ
๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = ((0gโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐))) |
61 | 3, 4, 14 | ringlz 20019 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐
โ Ring โง (๐โ๐) โ ๐ต) โ ((0gโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (0gโ๐
)) |
62 | 37, 46, 61 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ((0gโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (0gโ๐
)) |
63 | 62 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข ((ยฌ
๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ ((0gโ๐
)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = (0gโ๐
)) |
64 | | eqcom 2740 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ ๐ = ๐) |
65 | | iffalse 4499 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)) = (0gโ๐
)) |
66 | 64, 65 | sylnbi 330 |
. . . . . . . . . . 11
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)) = (0gโ๐
)) |
67 | 66 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . 10
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ (0gโ๐
) = if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
68 | 67 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((ยฌ
๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (0gโ๐
) = if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
69 | 60, 63, 68 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข ((ยฌ
๐ = ๐ โง ((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐)) โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
70 | 57, 69 | pm2.61ian 811 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (if(๐ = ๐, (1rโ๐
), (0gโ๐
))(.rโ๐
)(๐โ๐)) = if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
71 | 32, 70 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
โข (((๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)) = if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
72 | 71 | mpteq2dva 5209 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โฆ ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐))) = (๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)))) |
73 | 72 | oveq2d 7377 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐(๐ฅ โ ๐, ๐ฆ โ ๐ โฆ if(๐ฅ = ๐ฆ, (1rโ๐
), (0gโ๐
)))๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)))) = (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))))) |
74 | | ringmnd 19982 |
. . . . . . 7
โข (๐
โ Ring โ ๐
โ Mnd) |
75 | 5, 74 | syl 17 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ๐
โ Mnd) |
76 | 75 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐
โ Mnd) |
77 | 6 | adantr 482 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ Fin) |
78 | | eqid 2733 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) = (๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
))) |
79 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐:๐โถ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ ๐ต) |
80 | 79, 3 | eleqtrdi 2844 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐:๐โถ๐ต โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐
)) |
81 | 80 | ex 414 |
. . . . . . . 8
โข (๐:๐โถ๐ต โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐
))) |
82 | 40, 81 | syl6bi 253 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (๐ โ (๐ต โm ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐
)))) |
83 | 11, 82 | mpd 15 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (๐ โ ๐ โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐
))) |
84 | 83 | imp 408 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ๐) โ (Baseโ๐
)) |
85 | 14, 76, 77, 25, 78, 84 | gsummptif1n0 19751 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐, (๐โ๐), (0gโ๐
)))) = (๐โ๐)) |
86 | 20, 73, 85 | 3eqtrd 2777 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐(1rโ๐ด)๐)(.rโ๐
)(๐โ๐)))) = (๐โ๐)) |
87 | 86 | mpteq2dva 5209 |
. 2
โข (๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (๐
ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐(1rโ๐ด)๐)(.rโ๐
)(๐โ๐))))) = (๐ โ ๐ โฆ (๐โ๐))) |
88 | | ffn 6672 |
. . . . 5
โข (๐:๐โถ๐ต โ ๐ Fn ๐) |
89 | 40, 88 | syl6bi 253 |
. . . 4
โข (๐ โ (๐ โ (๐ต โm ๐) โ ๐ Fn ๐)) |
90 | 11, 89 | mpd 15 |
. . 3
โข (๐ โ ๐ Fn ๐) |
91 | | eqcom 2740 |
. . . 4
โข ((๐ โ ๐ โฆ (๐โ๐)) = ๐ โ ๐ = (๐ โ ๐ โฆ (๐โ๐))) |
92 | | dffn5 6905 |
. . . 4
โข (๐ Fn ๐ โ ๐ = (๐ โ ๐ โฆ (๐โ๐))) |
93 | 91, 92 | bitr4i 278 |
. . 3
โข ((๐ โ ๐ โฆ (๐โ๐)) = ๐ โ ๐ Fn ๐) |
94 | 90, 93 | sylibr 233 |
. 2
โข (๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (๐โ๐)) = ๐) |
95 | 12, 87, 94 | 3eqtrd 2777 |
1
โข (๐ โ
((1rโ๐ด)
ยท
๐) = ๐) |