Theorem subcn2 15767

Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem subcn2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11560	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → -𝐶 ∈ ℂ)
2		addcn2 15766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
3	1, 2	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
4		negcl 11560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → -𝑣 ∈ ℂ)
5		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (abs‘(𝑤 − -𝐶)) = (abs‘( -𝑣 − -𝐶)))
6	5	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧))
7	6	anbi2d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧)))
8		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (𝑢 + 𝑤) = (𝑢 + -𝑣))
9	8	fvoveq1d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))))
10	9	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
11	7, 10	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = -𝑣 → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
12	11	rspcv 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
13	4, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑣 ∈ ℂ)
16		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	15, 16	neg2subd 11689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ( -𝑣 − -𝐶) = (𝐶 − 𝑣))
18	17	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝐶 − 𝑣)))
19	16, 15	abssubd 15628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐶 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
20	18, 19	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
21	20	breq1d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧))
22	21	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
23		negsub 11609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢 − 𝑣))
24	23	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢 − 𝑣))
25		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25, 16	negsubd 11678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
27	24, 26	oveq12d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶)))
28	27	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))))
29	28	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))
30	22, 29	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘( -𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
31	14, 30	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
32	31	ralrimdva 3162	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
33	32	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
34	33	reximdv 3177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
35	34	reximdv 3177	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴)))
36	3, 35	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐵 − 𝐶))) < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   < clt 11346   − cmin 11544   -cneg 11545  ℝ⁺crp 13123  abscabs 15406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408

This theorem is used by:  climsub  15806  rlimsub  15816  subcn  25191