MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcn2 15156
Description: Complex number subtraction is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcn2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem subcn2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negcl 11078 . . 3 (𝐶 ∈ ℂ → -𝐶 ∈ ℂ)
2 addcn2 15155 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
31, 2syl3an3 1167 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
4 negcl 11078 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℂ → -𝑣 ∈ ℂ)
5 fvoveq1 7236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑣 → (abs‘(𝑤 − -𝐶)) = (abs‘(-𝑣 − -𝐶)))
65breq1d 5063 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧))
76anbi2d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑣 → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧)))
8 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = -𝑣 → (𝑢 + 𝑤) = (𝑢 + -𝑣))
98fvoveq1d 7235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑣 → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))))
109breq1d 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑣 → ((abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴))
117, 10imbi12d 348 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = -𝑣 → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
1211rspcv 3532 . . . . . . . . 9 (-𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
134, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℂ → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
1413adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴)))
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑣 ∈ ℂ)
16 simpll3 1216 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
1715, 16neg2subd 11206 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (-𝑣 − -𝐶) = (𝐶𝑣))
1817fveq2d 6721 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝐶𝑣)))
1916, 15abssubd 15017 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐶𝑣)) = (abs‘(𝑣𝐶)))
2018, 19eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) = (abs‘(𝑣𝐶)))
2120breq1d 5063 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧))
2221anbi2d 632 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧)))
23 negsub 11126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢𝑣))
2423adantll 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + -𝑣) = (𝑢𝑣))
25 simpll2 1215 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2625, 16negsubd 11195 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
2724, 26oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶)) = ((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶)))
2827fveq2d 6721 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) = (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))))
2928breq1d 5063 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴 ↔ (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴))
3022, 29imbi12d 348 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(-𝑣 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + -𝑣) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3114, 30sylibd 242 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3231ralrimdva 3110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3332ralimdva 3100 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3433reximdv 3192 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
3534reximdv 3192 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑤 − -𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑤) − (𝐵 + -𝐶))) < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴)))
363, 35mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐵𝐶))) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727   + caddc 10732   < clt 10867  cmin 11062  -cneg 11063  +crp 12586  abscabs 14797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799
This theorem is referenced by:  climsub  15195  rlimsub  15206  subcn  23763
  Copyright terms: Public domain W3C validator