Theorem rndrhmcl 33262

Description: The image of a division ring by a ring homomorphism is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rndrhmcl.r	⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
rndrhmcl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
rndrhmcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
rndrhmcl.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
rndrhmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
rndrhmcl	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rndrhmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rndrhmcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
2		imadmrn 6018	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
3	2	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹)) = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
4	1, 3	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹))
5		rndrhmcl.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
6		rndrhmcl.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
9	7, 8	rhmf 20402	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
11	10	fdmd 6661	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑀))
12		rndrhmcl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)
13	7	sdrgid 20707	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝑀))
16		rndrhmcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
17	4, 5, 6, 15, 16	imadrhmcl 20712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {csn 4573  dom cdm 5614  ran crn 5615   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   RingHom crh 20387  DivRingcdr 20644  SubDRingcsdrg 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-rhm 20390  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-sdrg 20702

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33733