Theorem rndrhmcl 33372

Description: The image of a division ring by a ring homomorphism is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rndrhmcl.r	⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
rndrhmcl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
rndrhmcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
rndrhmcl.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
rndrhmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
rndrhmcl	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rndrhmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rndrhmcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
2		imadmrn 6029	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
3	2	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹)) = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
4	1, 3	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹))
5		rndrhmcl.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
6		rndrhmcl.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
9	7, 8	rhmf 20455	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
11	10	fdmd 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑀))
12		rndrhmcl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)
13	7	sdrgid 20760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝑀))
16		rndrhmcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
17	4, 5, 6, 15, 16	imadrhmcl 20765	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393   RingHom crh 20440  DivRingcdr 20697  SubDRingcsdrg 20754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-sdrg 20755

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33880