Theorem rndrhmcl 33617

Description: The image of a division ring by a ring homomorphism is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rndrhmcl.r	⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
rndrhmcl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
rndrhmcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
rndrhmcl.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
rndrhmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
rndrhmcl	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rndrhmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rndrhmcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
2		imadmrn 6072	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
3	2	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹)) = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
4	1, 3	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹))
5		rndrhmcl.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
6		rndrhmcl.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
9	7, 8	rhmf 20563	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
10	6, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
11	10	fdmd 6716	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑀))
12		rndrhmcl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)
13	7	sdrgid 20895	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝑀))
16		rndrhmcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
17	4, 5, 6, 15, 16	imadrhmcl 20900	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {csn 4589  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  0_gc0g 17487   RingHom crh 20547  DivRingcdr 20827  SubDRingcsdrg 20889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-sdrg 20890

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  34110