Theorem rndrhmcl 33287

Description: The image of a division ring by a ring homomorphism is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rndrhmcl.r	⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
rndrhmcl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
rndrhmcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
rndrhmcl.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
rndrhmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
rndrhmcl	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rndrhmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rndrhmcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
2		imadmrn 6086	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
3	2	oveq2i 7440	. . 3 ⊢ (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹)) = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
4	1, 3	eqtr4i 2767	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹))
5		rndrhmcl.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
6		rndrhmcl.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
9	7, 8	rhmf 20477	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
11	10	fdmd 6744	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑀))
12		rndrhmcl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)
13	7	sdrgid 20785	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝑀))
16		rndrhmcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
17	4, 5, 6, 15, 16	imadrhmcl 20790	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  {csn 4624  dom cdm 5683  ran crn 5684   “ cima 5686  ⟶wf 6555  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243   ↾_s cress 17270  0_gc0g 17480   RingHom crh 20461  DivRingcdr 20721  SubDRingcsdrg 20779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-0g 17482  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-subg 19137  df-ghm 19227  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-oppr 20326  df-dvdsr 20349  df-unit 20350  df-invr 20380  df-rhm 20464  df-subrng 20538  df-subrg 20562  df-drng 20723  df-sdrg 20780

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33742