Theorem rndrhmcl 32957

Description: The image of a division ring by a ring homomorphism is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rndrhmcl.r	⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
rndrhmcl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑁)
rndrhmcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
rndrhmcl.2	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
rndrhmcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
rndrhmcl	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Proof of Theorem rndrhmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rndrhmcl.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
2		imadmrn 6067	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
3	2	oveq2i 7425	. . 3 ⊢ (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹)) = (𝑁 ↾s ran 𝐹)
4	1, 3	eqtr4i 2758	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝑁 ↾s (𝐹 “ dom 𝐹))
5		rndrhmcl.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
6		rndrhmcl.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁))
7		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
8		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
9	7, 8	rhmf 20417	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
11	10	fdmd 6727	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑀))
12		rndrhmcl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ DivRing)
13	7	sdrgid 20673	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ DivRing → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) ∈ (SubDRing‘𝑀))
15	11, 14	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝑀))
16		rndrhmcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ≠ { 0 })
17	4, 5, 6, 15, 16	imadrhmcl 20678	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  {csn 4624  dom cdm 5672  ran crn 5673   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173   ↾_s cress 17202  0_gc0g 17414   RingHom crh 20401  DivRingcdr 20617  SubDRingcsdrg 20667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-sdrg 20668

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33378