MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngnegr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngnegr 19334
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (rngonegmn1r 35280 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
rngnegr (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem rngnegr
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 19291 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringnegl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 ringnegl.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 19307 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑1𝐵)
9 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
105, 9grpinvcl 18140 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
114, 8, 10syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
12 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
145, 12, 13ringdi 19305 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵1𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
151, 2, 11, 8, 14syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
16 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
175, 12, 16, 9grplinv 18141 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
184, 8, 17syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
1918oveq2d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g𝑅)))
205, 13, 16ringrz 19327 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
211, 2, 20syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (0g𝑅))
235, 13, 6ringridm 19311 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
241, 2, 23syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
2524oveq2d 7154 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋))
2615, 22, 253eqtr3rd 2868 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅))
275, 13ringcl 19300 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
281, 2, 11, 27syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
295, 12, 16, 9grpinvid2 18144 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
304, 2, 28, 29syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )))
3231eqcomd 2830 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  .rcmulr 16555  0gc0g 16702  Grpcgrp 18092  invgcminusg 18093  1rcur 19240  Ringcrg 19286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288
This theorem is referenced by:  ringmneg2  19336  irredneg  19449  lmodsubdi  19677  mdetunilem7  21213  ldualvsubval  36353  lcdvsubval  38814  mapdpglem30  38898
  Copyright terms: Public domain W3C validator