Theorem rpcnne0d 13075

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13071	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ℂcc 11104  0cc0 11106  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-rp 13023

This theorem is used by:  expcnv  15925  mertenslem1  15945  divgcdcoprm0  16729  ovolscalem1  25683  aalioulem2  26507  aalioulem3  26508  dvsqrt  26918  cxpcn3lem  26923  relogbval  26948  relogbcl  26949  nnlogbexp  26957  divsqrtsumlem  27155  logexprlim  27400  2lgslem3b  27572  2lgslem3c  27573  2lgslem3d  27574  chebbnd1lem3  27646  chebbnd1  27647  chtppilimlem1  27648  chtppilimlem2  27649  chebbnd2  27652  chpchtlim  27654  chpo1ub  27655  rplogsumlem1  27659  rplogsumlem2  27660  rpvmasumlem  27662  dchrvmasumlem1  27670  dchrvmasum2lem  27671  dchrvmasumlem2  27673  dchrisum0fno1  27686  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem1  27691  dchrisum0lem2a  27692  dchrisum0lem2  27693  dchrisum0lem3  27694  rplogsum  27702  mulogsum  27707  mulog2sumlem1  27709  selberglem1  27720  pntrmax  27739  pntpbnd1a  27760  pntibndlem2  27766  pntlemc  27770  pntlemb  27772  pntlemn  27775  pntlemr  27777  pntlemj  27778  pntlemf  27780  pntlemk  27781  pntlemo  27782  pnt2  27788  bcm1n  33151  jm2.21  43749  stoweidlem25  46767  stoweidlem42  46784  wallispilem4  46810  stirlinglem10  46825  fourierdlem39  46888  lighneallem3  48387  dignn0flhalflem1  49423  dignn0flhalflem2  49424  itschlc0xyqsol1  49574