Theorem rpcnne0d 12986

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12979	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12982	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ℂcc 11027  0cc0 11029  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  expcnv  15820  mertenslem1  15840  divgcdcoprm0  16625  ovolscalem1  25490  aalioulem2  26310  aalioulem3  26311  dvsqrt  26719  cxpcn3lem  26724  relogbval  26749  relogbcl  26750  nnlogbexp  26758  divsqrtsumlem  26957  logexprlim  27202  2lgslem3b  27374  2lgslem3c  27375  2lgslem3d  27376  chebbnd1lem3  27448  chebbnd1  27449  chtppilimlem1  27450  chtppilimlem2  27451  chebbnd2  27454  chpchtlim  27456  chpo1ub  27457  rplogsumlem1  27461  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  dchrvmasumlem1  27472  dchrvmasum2lem  27473  dchrvmasumlem2  27475  dchrisum0fno1  27488  dchrisum0lem1b  27492  dchrisum0lem1  27493  dchrisum0lem2a  27494  dchrisum0lem2  27495  dchrisum0lem3  27496  rplogsum  27504  mulogsum  27509  mulog2sumlem1  27511  selberglem1  27522  pntrmax  27541  pntpbnd1a  27562  pntibndlem2  27568  pntlemc  27572  pntlemb  27574  pntlemn  27577  pntlemr  27579  pntlemj  27580  pntlemf  27582  pntlemk  27583  pntlemo  27584  pnt2  27590  bcm1n  32883  jm2.21  43440  stoweidlem25  46471  stoweidlem42  46488  wallispilem4  46514  stirlinglem10  46529  fourierdlem39  46592  lighneallem3  48082  dignn0flhalflem1  49103  dignn0flhalflem2  49104  itschlc0xyqsol1  49254