Theorem rpcnne0d 13040

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13033	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13036	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ℂcc 11065  0cc0 11067  ℝ⁺crp 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-addrcl 11128  ax-rnegex 11138  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-rp 12988

This theorem is referenced by:  expcnv  15885  mertenslem1  15905  divgcdcoprm0  16690  ovolscalem1  25563  aalioulem2  26385  aalioulem3  26386  dvsqrt  26795  cxpcn3lem  26800  relogbval  26825  relogbcl  26826  nnlogbexp  26834  divsqrtsumlem  27032  logexprlim  27277  2lgslem3b  27449  2lgslem3c  27450  2lgslem3d  27451  chebbnd1lem3  27523  chebbnd1  27524  chtppilimlem1  27525  chtppilimlem2  27526  chebbnd2  27529  chpchtlim  27531  chpo1ub  27532  rplogsumlem1  27536  rplogsumlem2  27537  rpvmasumlem  27539  dchrvmasumlem1  27547  dchrvmasum2lem  27548  dchrvmasumlem2  27550  dchrisum0fno1  27563  dchrisum0lem1b  27567  dchrisum0lem1  27568  dchrisum0lem2a  27569  dchrisum0lem2  27570  dchrisum0lem3  27571  rplogsum  27579  mulogsum  27584  mulog2sumlem1  27586  selberglem1  27597  pntrmax  27616  pntpbnd1a  27637  pntibndlem2  27643  pntlemc  27647  pntlemb  27649  pntlemn  27652  pntlemr  27654  pntlemj  27655  pntlemf  27657  pntlemk  27658  pntlemo  27659  pnt2  27665  bcm1n  32958  jm2.21  43532  stoweidlem25  46560  stoweidlem42  46577  wallispilem4  46603  stirlinglem10  46618  fourierdlem39  46681  lighneallem3  48177  dignn0flhalflem1  49198  dignn0flhalflem2  49199  itschlc0xyqsol1  49349