Theorem rpcnne0d 12602

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12598	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ℂcc 10692  0cc0 10694  ℝ⁺crp 12551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-addrcl 10755  ax-rnegex 10765  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-rp 12552

This theorem is referenced by:  expcnv  15391  mertenslem1  15411  divgcdcoprm0  16185  ovolscalem1  24364  aalioulem2  25180  aalioulem3  25181  dvsqrt  25582  cxpcn3lem  25587  relogbval  25609  relogbcl  25610  nnlogbexp  25618  divsqrtsumlem  25816  logexprlim  26060  2lgslem3b  26232  2lgslem3c  26233  2lgslem3d  26234  chebbnd1lem3  26306  chebbnd1  26307  chtppilimlem1  26308  chtppilimlem2  26309  chebbnd2  26312  chpchtlim  26314  chpo1ub  26315  rplogsumlem1  26319  rplogsumlem2  26320  rpvmasumlem  26322  dchrvmasumlem1  26330  dchrvmasum2lem  26331  dchrvmasumlem2  26333  dchrisum0fno1  26346  dchrisum0lem1b  26350  dchrisum0lem1  26351  dchrisum0lem2a  26352  dchrisum0lem2  26353  dchrisum0lem3  26354  rplogsum  26362  mulogsum  26367  mulog2sumlem1  26369  selberglem1  26380  pntrmax  26399  pntpbnd1a  26420  pntibndlem2  26426  pntlemc  26430  pntlemb  26432  pntlemn  26435  pntlemr  26437  pntlemj  26438  pntlemf  26440  pntlemk  26441  pntlemo  26442  pnt2  26448  bcm1n  30790  jm2.21  40460  stoweidlem25  43184  stoweidlem42  43201  wallispilem4  43227  stirlinglem10  43242  fourierdlem39  43305  lighneallem3  44675  dignn0flhalflem1  45577  dignn0flhalflem2  45578  itschlc0xyqsol1  45728