Theorem rpcnne0d 12946

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12942	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ℂcc 11007  0cc0 11009  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  expcnv  15771  mertenslem1  15791  divgcdcoprm0  16576  ovolscalem1  25412  aalioulem2  26239  aalioulem3  26240  dvsqrt  26649  cxpcn3lem  26655  relogbval  26680  relogbcl  26681  nnlogbexp  26689  divsqrtsumlem  26888  logexprlim  27134  2lgslem3b  27306  2lgslem3c  27307  2lgslem3d  27308  chebbnd1lem3  27380  chebbnd1  27381  chtppilimlem1  27382  chtppilimlem2  27383  chebbnd2  27386  chpchtlim  27388  chpo1ub  27389  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2lem  27405  dchrvmasumlem2  27407  dchrisum0fno1  27420  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem2a  27426  dchrisum0lem2  27427  dchrisum0lem3  27428  rplogsum  27436  mulogsum  27441  mulog2sumlem1  27443  selberglem1  27454  pntrmax  27473  pntpbnd1a  27494  pntibndlem2  27500  pntlemc  27504  pntlemb  27506  pntlemn  27509  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemk  27515  pntlemo  27516  pnt2  27522  bcm1n  32738  jm2.21  42967  stoweidlem25  46006  stoweidlem42  46023  wallispilem4  46049  stirlinglem10  46064  fourierdlem39  46127  lighneallem3  47591  dignn0flhalflem1  48600  dignn0flhalflem2  48601  itschlc0xyqsol1  48751