Theorem rpcnne0d 13011

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13004	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13007	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ℂcc 11073  0cc0 11075  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  expcnv  15837  mertenslem1  15857  divgcdcoprm0  16642  ovolscalem1  25421  aalioulem2  26248  aalioulem3  26249  dvsqrt  26658  cxpcn3lem  26664  relogbval  26689  relogbcl  26690  nnlogbexp  26698  divsqrtsumlem  26897  logexprlim  27143  2lgslem3b  27315  2lgslem3c  27316  2lgslem3d  27317  chebbnd1lem3  27389  chebbnd1  27390  chtppilimlem1  27391  chtppilimlem2  27392  chebbnd2  27395  chpchtlim  27397  chpo1ub  27398  rplogsumlem1  27402  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrvmasumlem1  27413  dchrvmasum2lem  27414  dchrvmasumlem2  27416  dchrisum0fno1  27429  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2a  27435  dchrisum0lem2  27436  dchrisum0lem3  27437  rplogsum  27445  mulogsum  27450  mulog2sumlem1  27452  selberglem1  27463  pntrmax  27482  pntpbnd1a  27503  pntibndlem2  27509  pntlemc  27513  pntlemb  27515  pntlemn  27518  pntlemr  27520  pntlemj  27521  pntlemf  27523  pntlemk  27524  pntlemo  27525  pnt2  27531  bcm1n  32725  jm2.21  42990  stoweidlem25  46030  stoweidlem42  46047  wallispilem4  46073  stirlinglem10  46088  fourierdlem39  46151  lighneallem3  47612  dignn0flhalflem1  48608  dignn0flhalflem2  48609  itschlc0xyqsol1  48759