Theorem rpcnne0d 13095

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13088	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13091	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ℂcc 11122  0cc0 11124  ℝ⁺crp 13042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-rp 13043

This theorem is used by:  expcnv  15953  mertenslem1  15973  divgcdcoprm0  16755  ovolscalem1  25741  aalioulem2  26569  aalioulem3  26570  dvsqrt  26979  cxpcn3lem  26984  relogbval  27009  relogbcl  27010  nnlogbexp  27018  divsqrtsumlem  27216  logexprlim  27461  2lgslem3b  27633  2lgslem3c  27634  2lgslem3d  27635  chebbnd1lem3  27707  chebbnd1  27708  chtppilimlem1  27709  chtppilimlem2  27710  chebbnd2  27713  chpchtlim  27715  chpo1ub  27716  rplogsumlem1  27720  rplogsumlem2  27721  rpvmasumlem  27723  dchrvmasumlem1  27731  dchrvmasum2lem  27732  dchrvmasumlem2  27734  dchrisum0fno1  27747  dchrisum0lem1b  27751  dchrisum0lem1  27752  dchrisum0lem2a  27753  dchrisum0lem2  27754  dchrisum0lem3  27755  rplogsum  27763  mulogsum  27768  mulog2sumlem1  27770  selberglem1  27781  pntrmax  27800  pntpbnd1a  27821  pntibndlem2  27827  pntlemc  27831  pntlemb  27833  pntlemn  27836  pntlemr  27838  pntlemj  27839  pntlemf  27841  pntlemk  27842  pntlemo  27843  pnt2  27849  bcm1n  33266  jm2.21  43835  stoweidlem25  46853  stoweidlem42  46870  wallispilem4  46896  stirlinglem10  46911  fourierdlem39  46974  lighneallem3  48510  dignn0flhalflem1  49545  dignn0flhalflem2  49546  itschlc0xyqsol1  49696