Theorem rpcnne0d 13178

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13171	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ℂcc 11203  0cc0 11205  ℝ⁺crp 13125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-addrcl 11266  ax-rnegex 11276  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353  df-rp 13126

This theorem is used by:  expcnv  16040  mertenslem1  16060  divgcdcoprm0  16847  ovolscalem1  25841  aalioulem2  26667  aalioulem3  26668  dvsqrt  27077  cxpcn3lem  27082  relogbval  27107  relogbcl  27108  nnlogbexp  27116  divsqrtsumlem  27314  logexprlim  27559  2lgslem3b  27731  2lgslem3c  27732  2lgslem3d  27733  chebbnd1lem3  27805  chebbnd1  27806  chtppilimlem1  27807  chtppilimlem2  27808  chebbnd2  27811  chpchtlim  27813  chpo1ub  27814  rplogsumlem1  27818  rplogsumlem2  27819  rpvmasumlem  27821  dchrvmasumlem1  27829  dchrvmasum2lem  27830  dchrvmasumlem2  27832  dchrisum0fno1  27845  dchrisum0lem1b  27849  dchrisum0lem1  27850  dchrisum0lem2a  27851  dchrisum0lem2  27852  dchrisum0lem3  27853  rplogsum  27861  mulogsum  27866  mulog2sumlem1  27868  selberglem1  27879  pntrmax  27898  pntpbnd1a  27919  pntibndlem2  27925  pntlemc  27929  pntlemb  27931  pntlemn  27934  pntlemr  27936  pntlemj  27937  pntlemf  27939  pntlemk  27940  pntlemo  27941  pnt2  27947  bcm1n  33435  jm2.21  44108  stoweidlem25  47142  stoweidlem42  47159  wallispilem4  47185  stirlinglem10  47200  fourierdlem39  47263  lighneallem3  48799  dignn0flhalflem1  49834  dignn0flhalflem2  49835  itschlc0xyqsol1  49985