Theorem rpcnne0d 12710

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12703	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12706	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ℂcc 10800  0cc0 10802  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  expcnv  15504  mertenslem1  15524  divgcdcoprm0  16298  ovolscalem1  24582  aalioulem2  25398  aalioulem3  25399  dvsqrt  25800  cxpcn3lem  25805  relogbval  25827  relogbcl  25828  nnlogbexp  25836  divsqrtsumlem  26034  logexprlim  26278  2lgslem3b  26450  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  chebbnd1lem3  26524  chebbnd1  26525  chtppilimlem1  26526  chtppilimlem2  26527  chebbnd2  26530  chpchtlim  26532  chpo1ub  26533  rplogsumlem1  26537  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrvmasumlem1  26548  dchrvmasum2lem  26549  dchrvmasumlem2  26551  dchrisum0fno1  26564  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  dchrisum0lem2  26571  dchrisum0lem3  26572  rplogsum  26580  mulogsum  26585  mulog2sumlem1  26587  selberglem1  26598  pntrmax  26617  pntpbnd1a  26638  pntibndlem2  26644  pntlemc  26648  pntlemb  26650  pntlemn  26653  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemk  26659  pntlemo  26660  pnt2  26666  bcm1n  31018  jm2.21  40732  stoweidlem25  43456  stoweidlem42  43473  wallispilem4  43499  stirlinglem10  43514  fourierdlem39  43577  lighneallem3  44947  dignn0flhalflem1  45849  dignn0flhalflem2  45850  itschlc0xyqsol1  46000