Theorem rpcnne0d 12986

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12979	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12982	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ℂcc 11027  0cc0 11029  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  expcnv  15820  mertenslem1  15840  divgcdcoprm0  16625  ovolscalem1  25498  aalioulem2  26317  aalioulem3  26318  dvsqrt  26724  cxpcn3lem  26729  relogbval  26754  relogbcl  26755  nnlogbexp  26763  divsqrtsumlem  26961  logexprlim  27206  2lgslem3b  27378  2lgslem3c  27379  2lgslem3d  27380  chebbnd1lem3  27452  chebbnd1  27453  chtppilimlem1  27454  chtppilimlem2  27455  chebbnd2  27458  chpchtlim  27460  chpo1ub  27461  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrvmasumlem1  27476  dchrvmasum2lem  27477  dchrvmasumlem2  27479  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0lem2  27499  dchrisum0lem3  27500  rplogsum  27508  mulogsum  27513  mulog2sumlem1  27515  selberglem1  27526  pntrmax  27545  pntpbnd1a  27566  pntibndlem2  27572  pntlemc  27576  pntlemb  27578  pntlemn  27581  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  pnt2  27594  bcm1n  32887  jm2.21  43439  stoweidlem25  46468  stoweidlem42  46485  wallispilem4  46511  stirlinglem10  46526  fourierdlem39  46589  lighneallem3  48085  dignn0flhalflem1  49106  dignn0flhalflem2  49107  itschlc0xyqsol1  49257