Theorem rpcnne0d 13027

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13023	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ℂcc 11110  0cc0 11112  ℝ⁺crp 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-rp 12977

This theorem is referenced by:  expcnv  15812  mertenslem1  15832  divgcdcoprm0  16604  ovolscalem1  25037  aalioulem2  25853  aalioulem3  25854  dvsqrt  26257  cxpcn3lem  26262  relogbval  26284  relogbcl  26285  nnlogbexp  26293  divsqrtsumlem  26491  logexprlim  26735  2lgslem3b  26907  2lgslem3c  26908  2lgslem3d  26909  chebbnd1lem3  26981  chebbnd1  26982  chtppilimlem1  26983  chtppilimlem2  26984  chebbnd2  26987  chpchtlim  26989  chpo1ub  26990  rplogsumlem1  26994  rplogsumlem2  26995  rpvmasumlem  26997  dchrvmasumlem1  27005  dchrvmasum2lem  27006  dchrvmasumlem2  27008  dchrisum0fno1  27021  dchrisum0lem1b  27025  dchrisum0lem1  27026  dchrisum0lem2a  27027  dchrisum0lem2  27028  dchrisum0lem3  27029  rplogsum  27037  mulogsum  27042  mulog2sumlem1  27044  selberglem1  27055  pntrmax  27074  pntpbnd1a  27095  pntibndlem2  27101  pntlemc  27105  pntlemb  27107  pntlemn  27110  pntlemr  27112  pntlemj  27113  pntlemf  27115  pntlemk  27116  pntlemo  27117  pnt2  27123  bcm1n  32044  jm2.21  41815  stoweidlem25  44820  stoweidlem42  44837  wallispilem4  44863  stirlinglem10  44878  fourierdlem39  44941  lighneallem3  46354  dignn0flhalflem1  47379  dignn0flhalflem2  47380  itschlc0xyqsol1  47530