Theorem rpcnne0d 13004

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12997	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13000	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ℂcc 11066  0cc0 11068  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  expcnv  15830  mertenslem1  15850  divgcdcoprm0  16635  ovolscalem1  25414  aalioulem2  26241  aalioulem3  26242  dvsqrt  26651  cxpcn3lem  26657  relogbval  26682  relogbcl  26683  nnlogbexp  26691  divsqrtsumlem  26890  logexprlim  27136  2lgslem3b  27308  2lgslem3c  27309  2lgslem3d  27310  chebbnd1lem3  27382  chebbnd1  27383  chtppilimlem1  27384  chtppilimlem2  27385  chebbnd2  27388  chpchtlim  27390  chpo1ub  27391  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrvmasumlem1  27406  dchrvmasum2lem  27407  dchrvmasumlem2  27409  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrisum0lem3  27430  rplogsum  27438  mulogsum  27443  mulog2sumlem1  27445  selberglem1  27456  pntrmax  27475  pntpbnd1a  27496  pntibndlem2  27502  pntlemc  27506  pntlemb  27508  pntlemn  27511  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemk  27517  pntlemo  27518  pnt2  27524  bcm1n  32718  jm2.21  42983  stoweidlem25  46023  stoweidlem42  46040  wallispilem4  46066  stirlinglem10  46081  fourierdlem39  46144  lighneallem3  47608  dignn0flhalflem1  48604  dignn0flhalflem2  48605  itschlc0xyqsol1  48755