Theorem rpcnne0d 12781

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12777	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ℂcc 10869  0cc0 10871  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  expcnv  15576  mertenslem1  15596  divgcdcoprm0  16370  ovolscalem1  24677  aalioulem2  25493  aalioulem3  25494  dvsqrt  25895  cxpcn3lem  25900  relogbval  25922  relogbcl  25923  nnlogbexp  25931  divsqrtsumlem  26129  logexprlim  26373  2lgslem3b  26545  2lgslem3c  26546  2lgslem3d  26547  chebbnd1lem3  26619  chebbnd1  26620  chtppilimlem1  26621  chtppilimlem2  26622  chebbnd2  26625  chpchtlim  26627  chpo1ub  26628  rplogsumlem1  26632  rplogsumlem2  26633  rpvmasumlem  26635  dchrvmasumlem1  26643  dchrvmasum2lem  26644  dchrvmasumlem2  26646  dchrisum0fno1  26659  dchrisum0lem1b  26663  dchrisum0lem1  26664  dchrisum0lem2a  26665  dchrisum0lem2  26666  dchrisum0lem3  26667  rplogsum  26675  mulogsum  26680  mulog2sumlem1  26682  selberglem1  26693  pntrmax  26712  pntpbnd1a  26733  pntibndlem2  26739  pntlemc  26743  pntlemb  26745  pntlemn  26748  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemf  26753  pntlemk  26754  pntlemo  26755  pnt2  26761  bcm1n  31116  jm2.21  40816  stoweidlem25  43566  stoweidlem42  43583  wallispilem4  43609  stirlinglem10  43624  fourierdlem39  43687  lighneallem3  45059  dignn0flhalflem1  45961  dignn0flhalflem2  45962  itschlc0xyqsol1  46112