MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0d 12428
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 12421 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31rpne0d 12424 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 515 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  wne 2987  cc 10524  0cc0 10526  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  expcnv  15211  mertenslem1  15232  divgcdcoprm0  15999  ovolscalem1  24117  aalioulem2  24929  aalioulem3  24930  dvsqrt  25331  cxpcn3lem  25336  relogbval  25358  relogbcl  25359  nnlogbexp  25367  divsqrtsumlem  25565  logexprlim  25809  2lgslem3b  25981  2lgslem3c  25982  2lgslem3d  25983  chebbnd1lem3  26055  chebbnd1  26056  chtppilimlem1  26057  chtppilimlem2  26058  chebbnd2  26061  chpchtlim  26063  chpo1ub  26064  rplogsumlem1  26068  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrvmasumlem1  26079  dchrvmasum2lem  26080  dchrvmasumlem2  26082  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0lem3  26103  rplogsum  26111  mulogsum  26116  mulog2sumlem1  26118  selberglem1  26129  pntrmax  26148  pntpbnd1a  26169  pntibndlem2  26175  pntlemc  26179  pntlemb  26181  pntlemn  26184  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  pntlemk  26190  pntlemo  26191  pnt2  26197  bcm1n  30544  jm2.21  39933  stoweidlem25  42665  stoweidlem42  42682  wallispilem4  42708  stirlinglem10  42723  fourierdlem39  42786  lighneallem3  44123  dignn0flhalflem1  45027  dignn0flhalflem2  45028  itschlc0xyqsol1  45178
  Copyright terms: Public domain W3C validator