Theorem rpcnne0d 13086

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13079	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13082	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ℂcc 11153  0cc0 11155  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  expcnv  15900  mertenslem1  15920  divgcdcoprm0  16702  ovolscalem1  25548  aalioulem2  26375  aalioulem3  26376  dvsqrt  26784  cxpcn3lem  26790  relogbval  26815  relogbcl  26816  nnlogbexp  26824  divsqrtsumlem  27023  logexprlim  27269  2lgslem3b  27441  2lgslem3c  27442  2lgslem3d  27443  chebbnd1lem3  27515  chebbnd1  27516  chtppilimlem1  27517  chtppilimlem2  27518  chebbnd2  27521  chpchtlim  27523  chpo1ub  27524  rplogsumlem1  27528  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  dchrvmasumlem1  27539  dchrvmasum2lem  27540  dchrvmasumlem2  27542  dchrisum0fno1  27555  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2a  27561  dchrisum0lem2  27562  dchrisum0lem3  27563  rplogsum  27571  mulogsum  27576  mulog2sumlem1  27578  selberglem1  27589  pntrmax  27608  pntpbnd1a  27629  pntibndlem2  27635  pntlemc  27639  pntlemb  27641  pntlemn  27644  pntlemr  27646  pntlemj  27647  pntlemf  27649  pntlemk  27650  pntlemo  27651  pnt2  27657  bcm1n  32797  jm2.21  43006  stoweidlem25  46040  stoweidlem42  46057  wallispilem4  46083  stirlinglem10  46098  fourierdlem39  46161  lighneallem3  47594  dignn0flhalflem1  48536  dignn0flhalflem2  48537  itschlc0xyqsol1  48687