Theorem rpcnne0d 12970

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12963	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ℂcc 11036  0cc0 11038  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  expcnv  15799  mertenslem1  15819  divgcdcoprm0  16604  ovolscalem1  25482  aalioulem2  26309  aalioulem3  26310  dvsqrt  26719  cxpcn3lem  26725  relogbval  26750  relogbcl  26751  nnlogbexp  26759  divsqrtsumlem  26958  logexprlim  27204  2lgslem3b  27376  2lgslem3c  27377  2lgslem3d  27378  chebbnd1lem3  27450  chebbnd1  27451  chtppilimlem1  27452  chtppilimlem2  27453  chebbnd2  27456  chpchtlim  27458  chpo1ub  27459  rplogsumlem1  27463  rplogsumlem2  27464  rpvmasumlem  27466  dchrvmasumlem1  27474  dchrvmasum2lem  27475  dchrvmasumlem2  27477  dchrisum0fno1  27490  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem2  27497  dchrisum0lem3  27498  rplogsum  27506  mulogsum  27511  mulog2sumlem1  27513  selberglem1  27524  pntrmax  27543  pntpbnd1a  27564  pntibndlem2  27570  pntlemc  27574  pntlemb  27576  pntlemn  27579  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  pntlemk  27585  pntlemo  27586  pnt2  27592  bcm1n  32886  jm2.21  43351  stoweidlem25  46383  stoweidlem42  46400  wallispilem4  46426  stirlinglem10  46441  fourierdlem39  46504  lighneallem3  47967  dignn0flhalflem1  48975  dignn0flhalflem2  48976  itschlc0xyqsol1  49126