Theorem rpcnne0d 13084

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13077	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13080	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ℂcc 11151  0cc0 11153  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  expcnv  15897  mertenslem1  15917  divgcdcoprm0  16699  ovolscalem1  25562  aalioulem2  26390  aalioulem3  26391  dvsqrt  26799  cxpcn3lem  26805  relogbval  26830  relogbcl  26831  nnlogbexp  26839  divsqrtsumlem  27038  logexprlim  27284  2lgslem3b  27456  2lgslem3c  27457  2lgslem3d  27458  chebbnd1lem3  27530  chebbnd1  27531  chtppilimlem1  27532  chtppilimlem2  27533  chebbnd2  27536  chpchtlim  27538  chpo1ub  27539  rplogsumlem1  27543  rplogsumlem2  27544  rpvmasumlem  27546  dchrvmasumlem1  27554  dchrvmasum2lem  27555  dchrvmasumlem2  27557  dchrisum0fno1  27570  dchrisum0lem1b  27574  dchrisum0lem1  27575  dchrisum0lem2a  27576  dchrisum0lem2  27577  dchrisum0lem3  27578  rplogsum  27586  mulogsum  27591  mulog2sumlem1  27593  selberglem1  27604  pntrmax  27623  pntpbnd1a  27644  pntibndlem2  27650  pntlemc  27654  pntlemb  27656  pntlemn  27659  pntlemr  27661  pntlemj  27662  pntlemf  27664  pntlemk  27665  pntlemo  27666  pnt2  27672  bcm1n  32803  jm2.21  42983  stoweidlem25  45981  stoweidlem42  45998  wallispilem4  46024  stirlinglem10  46039  fourierdlem39  46102  lighneallem3  47532  dignn0flhalflem1  48465  dignn0flhalflem2  48466  itschlc0xyqsol1  48616