Theorem rpcnne0d 13065

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13058	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13061	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ℂcc 11094  0cc0 11096  ℝ⁺crp 13012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-rp 13013

This theorem is referenced by:  expcnv  15914  mertenslem1  15934  divgcdcoprm0  16719  ovolscalem1  25637  aalioulem2  26459  aalioulem3  26460  dvsqrt  26869  cxpcn3lem  26874  relogbval  26899  relogbcl  26900  nnlogbexp  26908  divsqrtsumlem  27106  logexprlim  27351  2lgslem3b  27523  2lgslem3c  27524  2lgslem3d  27525  chebbnd1lem3  27597  chebbnd1  27598  chtppilimlem1  27599  chtppilimlem2  27600  chebbnd2  27603  chpchtlim  27605  chpo1ub  27606  rplogsumlem1  27610  rplogsumlem2  27611  rpvmasumlem  27613  dchrvmasumlem1  27621  dchrvmasum2lem  27622  dchrvmasumlem2  27624  dchrisum0fno1  27637  dchrisum0lem1b  27641  dchrisum0lem1  27642  dchrisum0lem2a  27643  dchrisum0lem2  27644  dchrisum0lem3  27645  rplogsum  27653  mulogsum  27658  mulog2sumlem1  27660  selberglem1  27671  pntrmax  27690  pntpbnd1a  27711  pntibndlem2  27717  pntlemc  27721  pntlemb  27723  pntlemn  27726  pntlemr  27728  pntlemj  27729  pntlemf  27731  pntlemk  27732  pntlemo  27733  pnt2  27739  bcm1n  33077  jm2.21  43608  stoweidlem25  46626  stoweidlem42  46643  wallispilem4  46669  stirlinglem10  46684  fourierdlem39  46747  lighneallem3  48243  dignn0flhalflem1  49275  dignn0flhalflem2  49276  itschlc0xyqsol1  49426