Theorem rpcnne0d 12995

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12988	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12991	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ℂcc 11036  0cc0 11038  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  expcnv  15829  mertenslem1  15849  divgcdcoprm0  16634  ovolscalem1  25480  aalioulem2  26299  aalioulem3  26300  dvsqrt  26706  cxpcn3lem  26711  relogbval  26736  relogbcl  26737  nnlogbexp  26745  divsqrtsumlem  26943  logexprlim  27188  2lgslem3b  27360  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  chtppilimlem1  27436  chtppilimlem2  27437  chebbnd2  27440  chpchtlim  27442  chpo1ub  27443  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrvmasumlem1  27458  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasumlem2  27461  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  rplogsum  27490  mulogsum  27495  mulog2sumlem1  27497  selberglem1  27508  pntrmax  27527  pntpbnd1a  27548  pntibndlem2  27554  pntlemc  27558  pntlemb  27560  pntlemn  27563  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  pnt2  27576  bcm1n  32868  jm2.21  43422  stoweidlem25  46453  stoweidlem42  46470  wallispilem4  46496  stirlinglem10  46511  fourierdlem39  46574  lighneallem3  48070  dignn0flhalflem1  49091  dignn0flhalflem2  49092  itschlc0xyqsol1  49242