Theorem rpcnne0d 13029

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13022	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13025	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ℂcc 11110  0cc0 11112  ℝ⁺crp 12978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-rp 12979

This theorem is referenced by:  expcnv  15814  mertenslem1  15834  divgcdcoprm0  16606  ovolscalem1  25254  aalioulem2  26070  aalioulem3  26071  dvsqrt  26474  cxpcn3lem  26479  relogbval  26501  relogbcl  26502  nnlogbexp  26510  divsqrtsumlem  26708  logexprlim  26952  2lgslem3b  27124  2lgslem3c  27125  2lgslem3d  27126  chebbnd1lem3  27198  chebbnd1  27199  chtppilimlem1  27200  chtppilimlem2  27201  chebbnd2  27204  chpchtlim  27206  chpo1ub  27207  rplogsumlem1  27211  rplogsumlem2  27212  rpvmasumlem  27214  dchrvmasumlem1  27222  dchrvmasum2lem  27223  dchrvmasumlem2  27225  dchrisum0fno1  27238  dchrisum0lem1b  27242  dchrisum0lem1  27243  dchrisum0lem2a  27244  dchrisum0lem2  27245  dchrisum0lem3  27246  rplogsum  27254  mulogsum  27259  mulog2sumlem1  27261  selberglem1  27272  pntrmax  27291  pntpbnd1a  27312  pntibndlem2  27318  pntlemc  27322  pntlemb  27324  pntlemn  27327  pntlemr  27329  pntlemj  27330  pntlemf  27332  pntlemk  27333  pntlemo  27334  pnt2  27340  bcm1n  32261  jm2.21  42035  stoweidlem25  45040  stoweidlem42  45057  wallispilem4  45083  stirlinglem10  45098  fourierdlem39  45161  lighneallem3  46574  dignn0flhalflem1  47389  dignn0flhalflem2  47390  itschlc0xyqsol1  47540