Theorem rpcnne0d 13065

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13058	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13061	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ℂcc 11132  0cc0 11134  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-addrcl 11195  ax-rnegex 11205  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  expcnv  15885  mertenslem1  15905  divgcdcoprm0  16689  ovolscalem1  25471  aalioulem2  26298  aalioulem3  26299  dvsqrt  26708  cxpcn3lem  26714  relogbval  26739  relogbcl  26740  nnlogbexp  26748  divsqrtsumlem  26947  logexprlim  27193  2lgslem3b  27365  2lgslem3c  27366  2lgslem3d  27367  chebbnd1lem3  27439  chebbnd1  27440  chtppilimlem1  27441  chtppilimlem2  27442  chebbnd2  27445  chpchtlim  27447  chpo1ub  27448  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  rpvmasumlem  27455  dchrvmasumlem1  27463  dchrvmasum2lem  27464  dchrvmasumlem2  27466  dchrisum0fno1  27479  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  dchrisum0lem2  27486  dchrisum0lem3  27487  rplogsum  27495  mulogsum  27500  mulog2sumlem1  27502  selberglem1  27513  pntrmax  27532  pntpbnd1a  27553  pntibndlem2  27559  pntlemc  27563  pntlemb  27565  pntlemn  27568  pntlemr  27570  pntlemj  27571  pntlemf  27573  pntlemk  27574  pntlemo  27575  pnt2  27581  bcm1n  32777  jm2.21  42985  stoweidlem25  46021  stoweidlem42  46038  wallispilem4  46064  stirlinglem10  46079  fourierdlem39  46142  lighneallem3  47588  dignn0flhalflem1  48562  dignn0flhalflem2  48563  itschlc0xyqsol1  48713