Theorem rpcnne0d 12441

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12434	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12437	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ℂcc 10535  0cc0 10537  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  expcnv  15219  mertenslem1  15240  divgcdcoprm0  16009  ovolscalem1  24114  aalioulem2  24922  aalioulem3  24923  dvsqrt  25323  cxpcn3lem  25328  relogbval  25350  relogbcl  25351  nnlogbexp  25359  divsqrtsumlem  25557  logexprlim  25801  2lgslem3b  25973  2lgslem3c  25974  2lgslem3d  25975  chebbnd1lem3  26047  chebbnd1  26048  chtppilimlem1  26049  chtppilimlem2  26050  chebbnd2  26053  chpchtlim  26055  chpo1ub  26056  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2lem  26072  dchrvmasumlem2  26074  dchrisum0fno1  26087  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  rplogsum  26103  mulogsum  26108  mulog2sumlem1  26110  selberglem1  26121  pntrmax  26140  pntpbnd1a  26161  pntibndlem2  26167  pntlemc  26171  pntlemb  26173  pntlemn  26176  pntlemr  26178  pntlemj  26179  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  pnt2  26189  bcm1n  30518  jm2.21  39640  stoweidlem25  42359  stoweidlem42  42376  wallispilem4  42402  stirlinglem10  42417  fourierdlem39  42480  lighneallem3  43821  dignn0flhalflem1  44724  dignn0flhalflem2  44725  itschlc0xyqsol1  44802