Theorem rpcnne0d 13213

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13206	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13209	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ℂcc 11237  0cc0 11239  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-rp 13161

This theorem is used by:  expcnv  16077  mertenslem1  16097  divgcdcoprm0  16884  ovolscalem1  25889  aalioulem2  26717  aalioulem3  26718  dvsqrt  27127  cxpcn3lem  27132  relogbval  27157  relogbcl  27158  nnlogbexp  27166  divsqrtsumlem  27364  logexprlim  27609  2lgslem3b  27781  2lgslem3c  27782  2lgslem3d  27783  chebbnd1lem3  27855  chebbnd1  27856  chtppilimlem1  27857  chtppilimlem2  27858  chebbnd2  27861  chpchtlim  27863  chpo1ub  27864  rplogsumlem1  27868  rplogsumlem2  27869  rpvmasumlem  27871  dchrvmasumlem1  27879  dchrvmasum2lem  27880  dchrvmasumlem2  27882  dchrisum0fno1  27895  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2a  27901  dchrisum0lem2  27902  dchrisum0lem3  27903  rplogsum  27911  mulogsum  27916  mulog2sumlem1  27918  selberglem1  27929  pntrmax  27948  pntpbnd1a  27969  pntibndlem2  27975  pntlemc  27979  pntlemb  27981  pntlemn  27984  pntlemr  27986  pntlemj  27987  pntlemf  27989  pntlemk  27990  pntlemo  27991  pnt2  27997  bcm1n  33483  jm2.21  44267  stoweidlem25  47308  stoweidlem42  47325  wallispilem4  47351  stirlinglem10  47366  fourierdlem39  47429  lighneallem3  48965  dignn0flhalflem1  50058  dignn0flhalflem2  50059  itschlc0xyqsol1  50209