Theorem rpcnne0d 12891

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12884	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12887	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ℂcc 10979  0cc0 10981  ℝ⁺crp 12840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-addrcl 11042  ax-rnegex 11052  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-ltxr 11124  df-rp 12841

This theorem is referenced by:  expcnv  15680  mertenslem1  15700  divgcdcoprm0  16472  ovolscalem1  24787  aalioulem2  25603  aalioulem3  25604  dvsqrt  26005  cxpcn3lem  26010  relogbval  26032  relogbcl  26033  nnlogbexp  26041  divsqrtsumlem  26239  logexprlim  26483  2lgslem3b  26655  2lgslem3c  26656  2lgslem3d  26657  chebbnd1lem3  26729  chebbnd1  26730  chtppilimlem1  26731  chtppilimlem2  26732  chebbnd2  26735  chpchtlim  26737  chpo1ub  26738  rplogsumlem1  26742  rplogsumlem2  26743  rpvmasumlem  26745  dchrvmasumlem1  26753  dchrvmasum2lem  26754  dchrvmasumlem2  26756  dchrisum0fno1  26769  dchrisum0lem1b  26773  dchrisum0lem1  26774  dchrisum0lem2a  26775  dchrisum0lem2  26776  dchrisum0lem3  26777  rplogsum  26785  mulogsum  26790  mulog2sumlem1  26792  selberglem1  26803  pntrmax  26822  pntpbnd1a  26843  pntibndlem2  26849  pntlemc  26853  pntlemb  26855  pntlemn  26858  pntlemr  26860  pntlemj  26861  pntlemf  26863  pntlemk  26864  pntlemo  26865  pnt2  26871  bcm1n  31467  jm2.21  41130  stoweidlem25  43954  stoweidlem42  43971  wallispilem4  43997  stirlinglem10  44012  fourierdlem39  44075  lighneallem3  45477  dignn0flhalflem1  46379  dignn0flhalflem2  46380  itschlc0xyqsol1  46530