Theorem rpcnne0d 12958

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12951	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12954	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ℂcc 11024  0cc0 11026  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  expcnv  15787  mertenslem1  15807  divgcdcoprm0  16592  ovolscalem1  25470  aalioulem2  26297  aalioulem3  26298  dvsqrt  26707  cxpcn3lem  26713  relogbval  26738  relogbcl  26739  nnlogbexp  26747  divsqrtsumlem  26946  logexprlim  27192  2lgslem3b  27364  2lgslem3c  27365  2lgslem3d  27366  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  chtppilimlem1  27440  chtppilimlem2  27441  chebbnd2  27444  chpchtlim  27446  chpo1ub  27447  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrvmasumlem1  27462  dchrvmasum2lem  27463  dchrvmasumlem2  27465  dchrisum0fno1  27478  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  rplogsum  27494  mulogsum  27499  mulog2sumlem1  27501  selberglem1  27512  pntrmax  27531  pntpbnd1a  27552  pntibndlem2  27558  pntlemc  27562  pntlemb  27564  pntlemn  27567  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  pntlemk  27573  pntlemo  27574  pnt2  27580  bcm1n  32875  jm2.21  43236  stoweidlem25  46269  stoweidlem42  46286  wallispilem4  46312  stirlinglem10  46327  fourierdlem39  46390  lighneallem3  47853  dignn0flhalflem1  48861  dignn0flhalflem2  48862  itschlc0xyqsol1  49012