Theorem rpcnne0d 13085

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13078	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ℂcc 11113  0cc0 11115  ℝ⁺crp 13032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-addrcl 11176  ax-rnegex 11186  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-rp 13033

This theorem is used by:  expcnv  15941  mertenslem1  15961  divgcdcoprm0  16745  ovolscalem1  25723  aalioulem2  26547  aalioulem3  26548  dvsqrt  26958  cxpcn3lem  26963  relogbval  26988  relogbcl  26989  nnlogbexp  26997  divsqrtsumlem  27195  logexprlim  27440  2lgslem3b  27612  2lgslem3c  27613  2lgslem3d  27614  chebbnd1lem3  27686  chebbnd1  27687  chtppilimlem1  27688  chtppilimlem2  27689  chebbnd2  27692  chpchtlim  27694  chpo1ub  27695  rplogsumlem1  27699  rplogsumlem2  27700  rpvmasumlem  27702  dchrvmasumlem1  27710  dchrvmasum2lem  27711  dchrvmasumlem2  27713  dchrisum0fno1  27726  dchrisum0lem1b  27730  dchrisum0lem1  27731  dchrisum0lem2a  27732  dchrisum0lem2  27733  dchrisum0lem3  27734  rplogsum  27742  mulogsum  27747  mulog2sumlem1  27749  selberglem1  27760  pntrmax  27779  pntpbnd1a  27800  pntibndlem2  27806  pntlemc  27810  pntlemb  27812  pntlemn  27815  pntlemr  27817  pntlemj  27818  pntlemf  27820  pntlemk  27821  pntlemo  27822  pnt2  27828  bcm1n  33210  jm2.21  43779  stoweidlem25  46797  stoweidlem42  46814  wallispilem4  46840  stirlinglem10  46855  fourierdlem39  46918  lighneallem3  48417  dignn0flhalflem1  49452  dignn0flhalflem2  49453  itschlc0xyqsol1  49603