Theorem rpcnne0d 12938

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12931	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12934	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ℂcc 10999  0cc0 11001  ℝ⁺crp 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-addrcl 11062  ax-rnegex 11072  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  expcnv  15766  mertenslem1  15786  divgcdcoprm0  16571  ovolscalem1  25436  aalioulem2  26263  aalioulem3  26264  dvsqrt  26673  cxpcn3lem  26679  relogbval  26704  relogbcl  26705  nnlogbexp  26713  divsqrtsumlem  26912  logexprlim  27158  2lgslem3b  27330  2lgslem3c  27331  2lgslem3d  27332  chebbnd1lem3  27404  chebbnd1  27405  chtppilimlem1  27406  chtppilimlem2  27407  chebbnd2  27410  chpchtlim  27412  chpo1ub  27413  rplogsumlem1  27417  rplogsumlem2  27418  rpvmasumlem  27420  dchrvmasumlem1  27428  dchrvmasum2lem  27429  dchrvmasumlem2  27431  dchrisum0fno1  27444  dchrisum0lem1b  27448  dchrisum0lem1  27449  dchrisum0lem2a  27450  dchrisum0lem2  27451  dchrisum0lem3  27452  rplogsum  27460  mulogsum  27465  mulog2sumlem1  27467  selberglem1  27478  pntrmax  27497  pntpbnd1a  27518  pntibndlem2  27524  pntlemc  27528  pntlemb  27530  pntlemn  27533  pntlemr  27535  pntlemj  27536  pntlemf  27538  pntlemk  27539  pntlemo  27540  pnt2  27546  bcm1n  32769  jm2.21  43027  stoweidlem25  46063  stoweidlem42  46080  wallispilem4  46106  stirlinglem10  46121  fourierdlem39  46184  lighneallem3  47638  dignn0flhalflem1  48647  dignn0flhalflem2  48648  itschlc0xyqsol1  48798