Theorem rpcnne0d 12949

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12942	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12945	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ℂcc 11015  0cc0 11017  ℝ⁺crp 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-addrcl 11078  ax-rnegex 11088  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-rp 12897

This theorem is referenced by:  expcnv  15778  mertenslem1  15798  divgcdcoprm0  16583  ovolscalem1  25461  aalioulem2  26288  aalioulem3  26289  dvsqrt  26698  cxpcn3lem  26704  relogbval  26729  relogbcl  26730  nnlogbexp  26738  divsqrtsumlem  26937  logexprlim  27183  2lgslem3b  27355  2lgslem3c  27356  2lgslem3d  27357  chebbnd1lem3  27429  chebbnd1  27430  chtppilimlem1  27431  chtppilimlem2  27432  chebbnd2  27435  chpchtlim  27437  chpo1ub  27438  rplogsumlem1  27442  rplogsumlem2  27443  rpvmasumlem  27445  dchrvmasumlem1  27453  dchrvmasum2lem  27454  dchrvmasumlem2  27456  dchrisum0fno1  27469  dchrisum0lem1b  27473  dchrisum0lem1  27474  dchrisum0lem2a  27475  dchrisum0lem2  27476  dchrisum0lem3  27477  rplogsum  27485  mulogsum  27490  mulog2sumlem1  27492  selberglem1  27503  pntrmax  27522  pntpbnd1a  27543  pntibndlem2  27549  pntlemc  27553  pntlemb  27555  pntlemn  27558  pntlemr  27560  pntlemj  27561  pntlemf  27563  pntlemk  27564  pntlemo  27565  pnt2  27571  bcm1n  32803  jm2.21  43151  stoweidlem25  46185  stoweidlem42  46202  wallispilem4  46228  stirlinglem10  46243  fourierdlem39  46306  lighneallem3  47769  dignn0flhalflem1  48777  dignn0flhalflem2  48778  itschlc0xyqsol1  48928