Theorem rpcnne0d 13108

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13101	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 13104	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ℂcc 11182  0cc0 11184  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  expcnv  15912  mertenslem1  15932  divgcdcoprm0  16712  ovolscalem1  25567  aalioulem2  26393  aalioulem3  26394  dvsqrt  26802  cxpcn3lem  26808  relogbval  26833  relogbcl  26834  nnlogbexp  26842  divsqrtsumlem  27041  logexprlim  27287  2lgslem3b  27459  2lgslem3c  27460  2lgslem3d  27461  chebbnd1lem3  27533  chebbnd1  27534  chtppilimlem1  27535  chtppilimlem2  27536  chebbnd2  27539  chpchtlim  27541  chpo1ub  27542  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasumlem2  27560  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  rplogsum  27589  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  selberglem1  27607  pntrmax  27626  pntpbnd1a  27647  pntibndlem2  27653  pntlemc  27657  pntlemb  27659  pntlemn  27662  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  pnt2  27675  bcm1n  32800  jm2.21  42951  stoweidlem25  45946  stoweidlem42  45963  wallispilem4  45989  stirlinglem10  46004  fourierdlem39  46067  lighneallem3  47481  dignn0flhalflem1  48349  dignn0flhalflem2  48350  itschlc0xyqsol1  48500