Theorem rpcnne0d 12290

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12286	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ℂcc 10381  0cc0 10383  ℝ⁺crp 12239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-addrcl 10444  ax-rnegex 10454  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526  df-rp 12240

This theorem is referenced by:  expcnv  15052  mertenslem1  15073  divgcdcoprm0  15838  ovolscalem1  23797  aalioulem2  24605  aalioulem3  24606  dvsqrt  25004  cxpcn3lem  25009  relogbval  25031  relogbcl  25032  nnlogbexp  25040  divsqrtsumlem  25239  logexprlim  25483  2lgslem3b  25655  2lgslem3c  25656  2lgslem3d  25657  chebbnd1lem3  25729  chebbnd1  25730  chtppilimlem1  25731  chtppilimlem2  25732  chebbnd2  25735  chpchtlim  25737  chpo1ub  25738  rplogsumlem1  25742  rplogsumlem2  25743  rpvmasumlem  25745  dchrvmasumlem1  25753  dchrvmasum2lem  25754  dchrvmasumlem2  25756  dchrisum0fno1  25769  dchrisum0lem1b  25773  dchrisum0lem1  25774  dchrisum0lem2a  25775  dchrisum0lem2  25776  dchrisum0lem3  25777  rplogsum  25785  mulogsum  25790  mulog2sumlem1  25792  selberglem1  25803  pntrmax  25822  pntpbnd1a  25843  pntibndlem2  25849  pntlemc  25853  pntlemb  25855  pntlemn  25858  pntlemr  25860  pntlemj  25861  pntlemf  25863  pntlemk  25864  pntlemo  25865  pnt2  25871  bcm1n  30204  jm2.21  39076  stoweidlem25  41852  stoweidlem42  41869  wallispilem4  41895  stirlinglem10  41910  fourierdlem39  41973  lighneallem3  43254  dignn0flhalflem1  44156  dignn0flhalflem2  44157  itschlc0xyqsol1  44234