Theorem rpcnne0d 12980

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12973	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1	rpne0d 12976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	2, 3	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ℂcc 11042  0cc0 11044  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  expcnv  15806  mertenslem1  15826  divgcdcoprm0  16611  ovolscalem1  25390  aalioulem2  26217  aalioulem3  26218  dvsqrt  26627  cxpcn3lem  26633  relogbval  26658  relogbcl  26659  nnlogbexp  26667  divsqrtsumlem  26866  logexprlim  27112  2lgslem3b  27284  2lgslem3c  27285  2lgslem3d  27286  chebbnd1lem3  27358  chebbnd1  27359  chtppilimlem1  27360  chtppilimlem2  27361  chebbnd2  27364  chpchtlim  27366  chpo1ub  27367  rplogsumlem1  27371  rplogsumlem2  27372  rpvmasumlem  27374  dchrvmasumlem1  27382  dchrvmasum2lem  27383  dchrvmasumlem2  27385  dchrisum0fno1  27398  dchrisum0lem1b  27402  dchrisum0lem1  27403  dchrisum0lem2a  27404  dchrisum0lem2  27405  dchrisum0lem3  27406  rplogsum  27414  mulogsum  27419  mulog2sumlem1  27421  selberglem1  27432  pntrmax  27451  pntpbnd1a  27472  pntibndlem2  27478  pntlemc  27482  pntlemb  27484  pntlemn  27487  pntlemr  27489  pntlemj  27490  pntlemf  27492  pntlemk  27493  pntlemo  27494  pnt2  27500  bcm1n  32691  jm2.21  42956  stoweidlem25  45996  stoweidlem42  46013  wallispilem4  46039  stirlinglem10  46054  fourierdlem39  46117  lighneallem3  47581  dignn0flhalflem1  48577  dignn0flhalflem2  48578  itschlc0xyqsol1  48728