MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpo1ub 27363
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ub (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chpo1ub
StepHypRef Expression
1 2re 12287 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
2 elicopnf 13425 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
4 chtrpcl 27057 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
53, 4sylbi 216 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
65rpcnne0d 13028 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0))
73simplbi 497 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 0red 11218 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 ∈ ℝ)
91a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ∈ ℝ)
10 2pos 12316 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < 2)
123simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 2 ≀ π‘₯)
138, 9, 7, 11, 12ltletrd 11375 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ 0 < π‘₯)
147, 13elrpd 13016 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1514rpcnne0d 13028 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
16 rpre 12985 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 chpcl 27006 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1918recnd 11243 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2014, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
21 dmdcan 11925 . . . . . . . 8 ((((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (Οˆβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯))
226, 15, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯))
2322adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯))
2423mpteq2dva 5241 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
25 ovexd 7439 . . . . . 6 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
26 ovexd 7439 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ V)
27 ovexd 7439 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ V)
28 eqidd 2727 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
29 eqidd 2727 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
3025, 26, 27, 28, 29offval2 7686 . . . . 5 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))))
3114ssriv 3981 . . . . . 6 (2[,)+∞) βŠ† ℝ+
32 resmpt 6030 . . . . . 6 ((2[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
3331, 32mp1i 13 . . . . 5 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
3424, 30, 333eqtr4rd 2777 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) = ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))))
3531a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
36 chto1ub 27359 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
3736a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
3835, 37o1res2 15510 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
39 chpchtlim 27362 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1
40 rlimo1 15564 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 1 β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)
42 o1mul 15562 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
4338, 41, 42sylancl 585 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
4434, 43eqeltrd 2827 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
45 rerpdivcl 13007 . . . . . . . 8 (((Οˆβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
4618, 45mpancom 685 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
4746recnd 11243 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ β„‚)
4847adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ β„‚)
4948fmpttd 7109 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)):ℝ+βŸΆβ„‚)
50 rpssre 12984 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
5150a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
521a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 2 ∈ ℝ)
5349, 51, 52o1resb 15513 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) β†Ύ (2[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
5444, 53mpbird 257 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
5554mptru 1540 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246   < clt 11249   ≀ cle 11250   / cdiv 11872  2c2 12268  β„+crp 12977  [,)cico 13329   β‡π‘Ÿ crli 15432  π‘‚(1)co1 15433  ΞΈccht 26973  Οˆcchp 26975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-o1 15437  df-lo1 15438  df-sum 15636  df-ef 16014  df-e 16015  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16776  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-cxp 26441  df-cht 26979  df-vma 26980  df-chp 26981  df-ppi 26982
This theorem is referenced by:  chpo1ubb  27364  vmadivsum  27365  selberg2lem  27433  pntrmax  27447  pntrsumo1  27448  pntrlog2bndlem2  27461
  Copyright terms: Public domain W3C validator