Theorem rspsnasso 33124

Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff the ideals they generate are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rspsnasso	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (𝐾‘{𝑌}) = (𝐾‘{𝑋})))

Proof of Theorem rspsnasso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		dvdsrspss.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		dvdsrspss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		dvdsrspss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		dvdsrspss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvdsrspss 33123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
8	1, 2, 3, 5, 4, 6	dvdsrspss 33123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
9	7, 8	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ((𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (𝐾‘{𝑌}))))
10		eqss 3997	. 2 ⊢ ((𝐾‘{𝑌}) = (𝐾‘{𝑋}) ↔ ((𝐾‘{𝑌}) ⊆ (𝐾‘{𝑋}) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (𝐾‘{𝑌})))
11	9, 10	bitr4di 288	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (𝐾‘{𝑌}) = (𝐾‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  Ringcrg 20187  ∥_rcdsr 20307  RSpancrsp 21117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-dvdsr 20310  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119

This theorem is referenced by:  mxidlirred  33218  rprmasso  33275