MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrpropedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrpropedg 29516
Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with edges. (Contributed by AV, 23-Dec-2020.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrpropnb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrpropedg (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑒,𝐺,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑒)   𝑉(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem rusgrpropedg
StepHypRef Expression
1 rusgrpropnb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21rusgrpropnb 29515 . 2 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
3 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
41, 3nbedgusgr 29303 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}))
54eqeq1d 2728 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 ↔ (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
65biimpd 228 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
76ralimdva 3157 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
87adantr 479 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
98imdistani 567 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
10 df-3an 1086 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) ↔ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
11 df-3an 1086 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾) ↔ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0*) ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
129, 10, 113imtr4i 291 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
132, 12syl 17 1 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑣𝑒}) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3420   class class class wbr 5144  cfv 6544  (class class class)co 7414  0*cxnn0 12588  chash 14340  Vtxcvtx 28927  Edgcedg 28978  USGraphcusgr 29080   NeighbVtx cnbgr 29263   RegUSGraph crusgr 29488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12867  df-xadd 13139  df-fz 13531  df-hash 14341  df-edg 28979  df-uhgr 28989  df-ushgr 28990  df-upgr 29013  df-umgr 29014  df-uspgr 29081  df-usgr 29082  df-nbgr 29264  df-vtxdg 29398  df-rgr 29489  df-rusgr 29490
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator