Theorem rusgrpropadjvtx 29520

Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with adjacent vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrpropnb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrpropadjvtx	⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑘,𝐺,𝑣   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑘)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem rusgrpropadjvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrpropnb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	rusgrpropnb 29518	. 2 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
5		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbusgrvtx 29282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = {𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)})
7	6	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}))
8	7	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)
11	9, 10	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
13	12	ralimdva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
14	13	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
15	14	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
16	3, 4, 15	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
17	2, 16	syl 17	1 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕ₀^*cxnn0 12522  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  USGraphcusgr 29083   NeighbVtx cnbgr 29266   RegUSGraph crusgr 29491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-ushgr 28993  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-nbgr 29267  df-vtxdg 29401  df-rgr 29492  df-rusgr 29493

This theorem is referenced by:  rusgrnumwrdl2  29521  rusgrnumwwlks  29911