Theorem rusgrpropadjvtx 29621

Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with adjacent vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrpropnb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrpropadjvtx	⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑘,𝐺,𝑣   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑘)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem rusgrpropadjvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrpropnb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	rusgrpropnb 29619	. 2 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	1, 5	nbusgrvtx 29383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = {𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)})
7	6	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}))
8	7	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
10		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)
11	9, 10	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
12	11	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
13	12	ralimdva 3173	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
14	13	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
15	14	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
16	3, 4, 15	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
17	2, 16	syl 17	1 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 (♯‘{𝑘 ∈ 𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℕ₀^*cxnn0 12625  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29031  Edgcedg 29082  USGraphcusgr 29184   NeighbVtx cnbgr 29367   RegUSGraph crusgr 29592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-xadd 13176  df-fz 13568  df-hash 14380  df-edg 29083  df-uhgr 29093  df-ushgr 29094  df-upgr 29117  df-umgr 29118  df-uspgr 29185  df-usgr 29186  df-nbgr 29368  df-vtxdg 29502  df-rgr 29593  df-rusgr 29594

This theorem is referenced by:  rusgrnumwrdl2  29622  rusgrnumwwlks  30007