MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrpropadjvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrpropadjvtx 28809
Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with adjacent vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrpropnb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrpropadjvtx (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑘,𝐺,𝑣   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑘)   𝑉(𝑣)

Proof of Theorem rusgrpropadjvtx
StepHypRef Expression
1 rusgrpropnb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21rusgrpropnb 28807 . 2 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
3 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph)
4 simp2 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
61, 5nbusgrvtx 28572 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = {𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)})
76fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}))
87eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
98adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
10 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)
119, 10eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
1211ex 414 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1312ralimdva 3168 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1413imp 408 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
15143adant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
163, 4, 153jca 1129 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
172, 16syl 17 1 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (♯‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  {cpr 4626   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  0*cxnn0 12531  chash 14277  Vtxcvtx 28223  Edgcedg 28274  USGraphcusgr 28376   NeighbVtx cnbgr 28556   RegUSGraph crusgr 28780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-uz 12810  df-xadd 13080  df-fz 13472  df-hash 14278  df-edg 28275  df-uhgr 28285  df-ushgr 28286  df-upgr 28309  df-umgr 28310  df-uspgr 28377  df-usgr 28378  df-nbgr 28557  df-vtxdg 28690  df-rgr 28781  df-rusgr 28782
This theorem is referenced by:  rusgrnumwrdl2  28810  rusgrnumwwlks  29195
  Copyright terms: Public domain W3C validator