Theorem s2rnOLD 32915

Description: Obsolete version of s2rn 14862 as of 1-Aug-2025. Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rnOLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rnOLD.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rnOLD	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6016	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽”⟩
2		s2rnOLD.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s2rnOLD.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4	2, 3	s2cld 14770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
5		wrdfn 14427	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)))
6		s2len 14788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
7	6	oveq2i 7352	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (0..^2)
8		fzo0to2pr 13642	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
9	7, 8	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = {0, 1}
10	9	fneq2i 6575	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
11	10	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
13	12	fndmd 6582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
14	13	imaeq2d 6006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}))
15		c0ex 11098	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4713	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
18		1ex 11100	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
19	18	prid2 4714	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1})
21		fnimapr 6900	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1} ∧ 0 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
22	12, 17, 20, 21	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
23		s2fv0 14786	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
24	2, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
25		s2fv1 14787	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	3, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	preq12d 4692	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)} = {𝐼, 𝐽})
28	14, 22, 27	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
29	1, 28	eqtr3id 2779	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {cpr 4576  dom cdm 5614  ran crn 5615   “ cima 5617   Fn wfn 6472  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  1c1 10999  2c2 12172  ..^cfzo 13546  ♯chash 14229  Word cword 14412  ⟨“cs2 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-concat 14470  df-s1 14496  df-s2 14747

This theorem is referenced by: (None)