Theorem s2rnOLD 33004

Description: Obsolete version of s2rn 14925 as of 1-Aug-2025. Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rnOLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rnOLD.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rnOLD	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6036	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽”⟩
2		s2rnOLD.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s2rnOLD.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4	2, 3	s2cld 14833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
5		wrdfn 14490	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)))
6		s2len 14851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
7	6	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (0..^2)
8		fzo0to2pr 13705	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
9	7, 8	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = {0, 1}
10	9	fneq2i 6597	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
11	10	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
13	12	fndmd 6604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
14	13	imaeq2d 6026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}))
15		c0ex 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4707	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
18		1ex 11140	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
19	18	prid2 4708	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1})
21		fnimapr 6924	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1} ∧ 0 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
22	12, 17, 20, 21	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
23		s2fv0 14849	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
24	2, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
25		s2fv1 14850	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	3, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	preq12d 4686	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)} = {𝐼, 𝐽})
28	14, 22, 27	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
29	1, 28	eqtr3id 2786	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs2 14803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810

This theorem is referenced by: (None)