Theorem s2rnOLD 33083

Description: Obsolete version of s2rn 14973 as of 1-Aug-2025. Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2rnOLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2rnOLD.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s2rnOLD	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6056	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽”⟩
2		s2rnOLD.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s2rnOLD.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4	2, 3	s2cld 14881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
5		wrdfn 14538	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)))
6		s2len 14899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
7	6	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (0..^2)
8		fzo0to2pr 13753	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
9	7, 8	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = {0, 1}
10	9	fneq2i 6615	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
11	10	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
12	4, 5, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
13	12	fndmd 6622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
14	13	imaeq2d 6046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}))
15		c0ex 11170	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4720	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
18		1ex 11173	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
19	18	prid2 4721	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1})
21		fnimapr 6946	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1} ∧ 0 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
22	12, 17, 20, 21	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
23		s2fv0 14897	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
24	2, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
25		s2fv1 14898	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	3, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	preq12d 4699	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)} = {𝐼, 𝐽})
28	14, 22, 27	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
29	1, 28	eqtr3id 2810	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cpr 4583  dom cdm 5645  ran crn 5646   “ cima 5648   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071  2c2 12269  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523  ⟨“cs2 14851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858

This theorem is referenced by: (None)