Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s2rnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2rnOLD 32912
Description: Obsolete version of s2rn 15014 as of 1-Aug-2025. Range of a length 2 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
s2rnOLD.i (𝜑𝐼𝐷)
s2rnOLD.j (𝜑𝐽𝐷)
Assertion
Ref Expression
s2rnOLD (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})

Proof of Theorem s2rnOLD
StepHypRef Expression
1 imadmrn 6101 . 2 (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽”⟩
2 s2rnOLD.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
3 s2rnOLD.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
42, 3s2cld 14922 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
5 wrdfn 14578 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)))
6 s2len 14940 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
76oveq2i 7461 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (0..^2)
8 fzo0to2pr 13803 . . . . . . . . 9 (0..^2) = {0, 1}
97, 8eqtri 2768 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) = {0, 1}
109fneq2i 6679 . . . . . . 7 (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
1110biimpi 216 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
124, 5, 113syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1})
1312fndmd 6686 . . . 4 (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
1413imaeq2d 6091 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}))
15 c0ex 11286 . . . . . 6 0 ∈ V
1615prid1 4787 . . . . 5 0 ∈ {0, 1}
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ {0, 1})
18 1ex 11288 . . . . . 6 1 ∈ V
1918prid2 4788 . . . . 5 1 ∈ {0, 1}
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ {0, 1})
21 fnimapr 7007 . . . 4 ((⟨“𝐼𝐽”⟩ Fn {0, 1} ∧ 0 ∈ {0, 1} ∧ 1 ∈ {0, 1}) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
2212, 17, 20, 21syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ {0, 1}) = {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)})
23 s2fv0 14938 . . . . 5 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
242, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
25 s2fv1 14939 . . . . 5 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
263, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
2724, 26preq12d 4766 . . 3 (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)} = {𝐼, 𝐽})
2814, 22, 273eqtrd 2784 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽”⟩) = {𝐼, 𝐽})
291, 28eqtr3id 2794 1 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108  {cpr 4650  dom cdm 5700  ran crn 5701  cima 5703   Fn wfn 6570  cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  2c2 12350  ..^cfzo 13713  chash 14381  Word cword 14564  ⟨“cs2 14892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator