Theorem sbgoldbaltlem2 44655

Description: Lemma 2 for sbgoldbalt 44656: If an even number greater than 4 is the sum of two primes, the primes must be odd, i.e. not 2. (Contributed by AV, 22-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbaltlem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 ∈ Odd ∧ 𝑄 ∈ Odd )))

Proof of Theorem sbgoldbaltlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
3		prmz 16061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
5		addcom 10854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
6	2, 4, 5	syl2anr 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
7	6	eqeq2d 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑃)))
8	7	3anbi3d 1440	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑃))))
9		sbgoldbaltlem1 44654	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑃)) → 𝑃 ∈ Odd ))
10	8, 9	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ Odd ))
11	10	ancoms 463	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ Odd ))
12		sbgoldbaltlem1 44654	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑄 ∈ Odd ))
13	11, 12	jcad 517	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 ∈ Odd ∧ 𝑄 ∈ Odd )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5030  (class class class)co 7148  ℂcc 10563   + caddc 10568   < clt 10703  4c4 11721  ℙcprime 16057   Even ceven 44499   Odd codd 44500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-sup 8929  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-rp 12421  df-seq 13409  df-exp 13470  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-dvds 15646  df-prm 16058  df-even 44501  df-odd 44502

This theorem is referenced by:  sbgoldbalt  44656