Theorem sbgoldbaltlem2 46448

Description: Lemma 2 for sbgoldbalt 46449: If an even number greater than 4 is the sum of two primes, the primes must be odd, i.e. not 2. (Contributed by AV, 22-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbaltlem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 ∈ Odd ∧ 𝑄 ∈ Odd )))

Proof of Theorem sbgoldbaltlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
3		prmz 16612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 12667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
5		addcom 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
6	2, 4, 5	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) = (𝑄 + 𝑃))
7	6	eqeq2d 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑃)))
8	7	3anbi3d 1443	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑃))))
9		sbgoldbaltlem1 46447	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑃)) → 𝑃 ∈ Odd ))
10	8, 9	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ Odd ))
11	10	ancoms 460	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ Odd ))
12		sbgoldbaltlem1 46447	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑄 ∈ Odd ))
13	11, 12	jcad 514	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 4 < 𝑁 ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 ∈ Odd ∧ 𝑄 ∈ Odd )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   < clt 11248  4c4 12269  ℙcprime 16608   Even ceven 46292   Odd codd 46293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-even 46294  df-odd 46295

This theorem is referenced by:  sbgoldbalt  46449