MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdrgint Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sdrgint 20564
Description: The intersection of a nonempty collection of sub division rings is a sub division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
sdrgint ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem sdrgint
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 simp2 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…))
3 issdrg 20548 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (𝑅 β†Ύs 𝑠) ∈ DivRing))
43simp2bi 1145 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑠 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
54ssriv 3986 . . . 4 (SubDRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubRingβ€˜π‘…)
62, 5sstrdi 3994 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…))
7 simp3 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
8 subrgint 20486 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
96, 7, 8syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
10 eqid 2731 . . 3 (𝑅 β†Ύs ∩ 𝑆) = (𝑅 β†Ύs ∩ 𝑆)
112sselda 3982 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
123simp3bi 1146 . . . 4 (𝑠 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑠) ∈ DivRing)
1311, 12syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝑠) ∈ DivRing)
1410, 1, 6, 7, 13subdrgint 20563 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 β†Ύs ∩ 𝑆) ∈ DivRing)
15 issdrg 20548 . 2 (∩ 𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (𝑅 β†Ύs ∩ 𝑆) ∈ DivRing))
161, 9, 14, 15syl3anbrc 1342 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† (SubDRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   β†Ύs cress 17178  SubRingcsubrg 20458  DivRingcdr 20501  SubDRingcsdrg 20546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-sdrg 20547
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator