Theorem sdrgint 21067

Description: The intersection of a nonempty collection of sub division rings is a sub division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgint	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgint

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅))
3		issdrg 21051	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6	2, 5	sstrdi 3920	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅))
7		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		subrgint 20853	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s ∩ 𝑆) = (𝑅 ↾s ∩ 𝑆)
11	2	sselda 3908	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅))
12	3	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
14	10, 1, 6, 7, 13	subdrgint 21066	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑅 ↾s ∩ 𝑆) ∈ DivRing)
15		issdrg 21051	. 2 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s ∩ 𝑆) ∈ DivRing))
16	1, 9, 14, 15	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∩ cint 4906  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↾_s cress 17414  SubRingcsubrg 20827  DivRingcdr 20986  SubDRingcsdrg 21049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-drng 20988  df-sdrg 21050

This theorem is used by: (None)