Theorem sdrgint 20976

Description: The intersection of a nonempty collection of sub division rings is a sub division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sdrgint	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem sdrgint

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅))
3		issdrg 20960	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing))
4	3	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	4	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ (SubDRing‘𝑅) ⊆ (SubRing‘𝑅)
6	2, 5	sstrdi 3946	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅))
7		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		subrgint 20763	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s ∩ 𝑆) = (𝑅 ↾s ∩ 𝑆)
11	2	sselda 3934	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅))
12	3	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑅 ↾s 𝑠) ∈ DivRing)
14	10, 1, 6, 7, 13	subdrgint 20975	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑅 ↾s ∩ 𝑆) ∈ DivRing)
15		issdrg 20960	. 2 ⊢ (∩ 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s ∩ 𝑆) ∈ DivRing))
16	1, 9, 14, 15	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubDRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↾_s cress 17328  SubRingcsubrg 20737  DivRingcdr 20896  SubDRingcsdrg 20958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-sdrg 20959

This theorem is used by: (None)