Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 45105
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumsermpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3 elfzuz 13532 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrrdi 2836 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘𝑍)
65adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8fsumcl 15715 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 3135 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
1413sumeq1d 15683 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1514cbvmptv 5262 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1612, 15eqtri 2753 . . . 4 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1716fnmpt 6696 . . 3 (∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
21 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
22 nfcv 2891 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
2322nfcsb1 3913 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2423nfel1 2908 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
2521, 24nfim 1891 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
26 eleq1w 2808 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2726anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
28 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2928eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
3027, 29imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
3125, 30, 7chvarfv 2228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
32 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 7025 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3420, 31, 33syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3534, 31eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36 addcl 11222 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
3736adantl 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
384, 19, 35, 37seqf 14024 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ)
3938ffnd 6724 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
40 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
4140a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)))
4241fneq1d 6648 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍))
4339, 42mpbird 256 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
44 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
4516fvmpt2 7015 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
4644, 10, 45syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
47 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑗(𝑀...𝑚)
48 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑘(𝑀...𝑚)
49 nfcv 2891 . . . . . 6 𝑗𝐴
5028, 47, 48, 49, 23cbvsum 15677 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴
5150a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
5246, 51eqtrd 2765 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
53 simpl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
54 elfzuz 13532 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5554, 4eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗𝑍)
5655adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗𝑍)
5753, 56, 34syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
5857adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
59 id 22 . . . . . 6 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
6059, 4eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝑚𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6160adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6253, 56, 31syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6362adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6458, 61, 63fsumser 15712 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚))
6540fveq1i 6897 . . . . 5 (𝐺𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚)
6665eqcomi 2734 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚)
6766a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚))
6852, 64, 673eqtrd 2769 . 2 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
6918, 43, 68eqfnfvd 7042 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  csb 3889  cmpt 5232   Fn wfn 6544  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138   + caddc 11143  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  seqcseq 14002  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  ovolval2lem  46169
  Copyright terms: Public domain W3C validator