Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 40329
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumsermpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12980 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3 elfzuz 12545 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2861 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘𝑍)
65adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8fsumcl 14672 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 6801 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
1413sumeq1d 14639 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1514cbvmptv 4884 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1612, 15eqtri 2793 . . . 4 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1716fnmpt 6160 . . 3 (∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
21 nfv 1995 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
22 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
2322nfcsb1 3697 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2423nfel1 2928 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
2521, 24nfim 1977 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
26 eleq1w 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2726anbi2d 614 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
28 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2928eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
3027, 29imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
3125, 30, 7chvar 2424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
32 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 6443 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3420, 31, 33syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3534, 31eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36 addcl 10220 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
3736adantl 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
384, 19, 35, 37seqf 13029 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ)
39 ffn 6185 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
4038, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
41 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)))
4342fneq1d 6121 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍))
4440, 43mpbird 247 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
45 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
4616fvmpt2 6433 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
4745, 10, 46syl2anc 573 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
48 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑗(𝑀...𝑚)
49 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑘(𝑀...𝑚)
50 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑗𝐴
5128, 48, 49, 50, 23cbvsum 14633 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴
5251a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
5347, 52eqtrd 2805 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
54 simpl 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
55 elfzuz 12545 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5655, 4syl6eleqr 2861 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗𝑍)
5756adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗𝑍)
5854, 57, 34syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
5958adantlr 694 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
60 id 22 . . . . . 6 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
6160, 4syl6eleq 2860 . . . . 5 (𝑚𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6261adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6354, 57, 31syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6463adantlr 694 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6559, 62, 64fsumser 14669 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚))
6641fveq1i 6333 . . . . 5 (𝐺𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚)
6766eqcomi 2780 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚)
6867a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚))
6953, 65, 683eqtrd 2809 . 2 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
7018, 44, 69eqfnfvd 6457 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  csb 3682  cmpt 4863   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136   + caddc 10141  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  ovolval2lem  41377
  Copyright terms: Public domain W3C validator