Theorem fsumsermpt 46698

Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsermpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumsermpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fsumsermpt	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘, 𝑛)   𝐺(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3		elfzuz 13657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		fsumsermpt.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		fsumsermpt.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	fsumcl 15906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12		fsumsermpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13		oveq2 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
14	13	sumeq1d 15874	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
15	14	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
16	12, 15	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
17	16	fnmpt 6682	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
18	11, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
19		fsumsermpt.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
22		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
23	22	nfcsb1 3870	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
24	23	nfel1 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
25	21, 24	nfim 1928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26		eleq1w 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
27	26	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
28		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
30	27, 29	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)))
31	25, 30, 7	chvarfv 2276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
32		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
33	22, 23, 28, 32	fvmptf 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	20, 31, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
35	34, 31	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36		addcl 11287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
37	36	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
38	4, 19, 35, 37	seqf 14171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
39	38	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
40		fsumsermpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
42	41	fneq1d 6635	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍))
43	39, 42	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑍)
44		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
45	16	fvmpt2 7008	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
46	44, 10, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
47		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
48	28, 47, 23	cbvsum 15869	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
50	46, 49	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
51		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
52		elfzuz 13657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	52, 4	eleqtrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ 𝑍)
54	53	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
55	51, 54, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
56	55	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
57		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ 𝑍)
58	57, 4	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
60	51, 54, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
61	60	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
62	56, 59, 61	fsumser 15903	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚))
63	40	fveq1i 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚)
64	63	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚) = (𝐺‘𝑚)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
66	50, 62, 65	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
67	18, 43, 66	eqfnfvd 7035	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⦋csb 3847   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203   + caddc 11208  ℤcz 12698  ℤ_≥cuz 12970  ...cfz 13644  seqcseq 14149  Σcsu 15860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-sum 15861

This theorem is used by:  ovolval2lem  47760