Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 43827
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
fsumsermpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fsumsermpt.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13879 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀...π‘š) ∈ Fin)
2 simpl 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ πœ‘)
3 elfzuz 13438 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
53, 4eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
65adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
82, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
91, 8fsumcl 15619 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
1110ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 7366 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑀...𝑛) = (𝑀...π‘š))
1413sumeq1d 15587 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1514cbvmptv 5219 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1612, 15eqtri 2765 . . . 4 𝐹 = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1716fnmpt 6642 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
20 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
21 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
22 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜π‘—
2322nfcsb1 3880 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
2423nfel1 2924 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚
2521, 24nfim 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
26 eleq1w 2821 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
2726anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
28 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
2928eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
3027, 29imbi12d 345 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)))
3125, 30, 7chvarfv 2234 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
32 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 6970 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3420, 31, 33syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3534, 31eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
36 addcl 11134 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑗 + π‘₯) ∈ β„‚)
3736adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑗 + π‘₯) ∈ β„‚)
384, 19, 35, 37seqf 13930 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
3938ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
40 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
4140a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
4241fneq1d 6596 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍))
4339, 42mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
44 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
4516fvmpt2 6960 . . . . 5 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
4644, 10, 45syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
47 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(𝑀...π‘š)
48 nfcv 2908 . . . . . 6 β„²π‘˜(𝑀...π‘š)
49 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝐴
5028, 47, 48, 49, 23cbvsum 15581 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄
5150a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
5246, 51eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
53 simpl 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ πœ‘)
54 elfzuz 13438 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5554, 4eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5655adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5753, 56, 34syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
5857adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
59 id 22 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ 𝑍)
6059, 4eleqtrdi 2848 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6160adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6253, 56, 31syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6362adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6458, 61, 63fsumser 15616 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š))
6540fveq1i 6844 . . . . 5 (πΊβ€˜π‘š) = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)
6665eqcomi 2746 . . . 4 (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š)
6766a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
6852, 64, 673eqtrd 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
6918, 43, 68eqfnfvd 6986 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  β¦‹csb 3856   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050   + caddc 11055  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  ...cfz 13425  seqcseq 13907  Ξ£csu 15571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572
This theorem is referenced by:  ovolval2lem  44891
  Copyright terms: Public domain W3C validator