Theorem fsumsermpt 45825

Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsermpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumsermpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fsumsermpt	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3		elfzuz 13436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		fsumsermpt.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		fsumsermpt.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	fsumcl 15656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12		fsumsermpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
14	13	sumeq1d 15623	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
15	14	cbvmptv 5202	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
16	12, 15	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
17	16	fnmpt 6632	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
18	11, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
19		fsumsermpt.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
22		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
23	22	nfcsb1 3872	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
24	23	nfel1 2915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
25	21, 24	nfim 1897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26		eleq1w 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
27	26	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
28		csbeq1a 3863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
30	27, 29	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)))
31	25, 30, 7	chvarfv 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
32		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
33	22, 23, 28, 32	fvmptf 6962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	20, 31, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
35	34, 31	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36		addcl 11108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
38	4, 19, 35, 37	seqf 13946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
39	38	ffnd 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
40		fsumsermpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
42	41	fneq1d 6585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍))
43	39, 42	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑍)
44		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
45	16	fvmpt2 6952	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
46	44, 10, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
47		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
48	28, 47, 23	cbvsum 15618	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
50	46, 49	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
51		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
52		elfzuz 13436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	52, 4	eleqtrrdi 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ 𝑍)
54	53	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
55	51, 54, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
56	55	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
57		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ 𝑍)
58	57, 4	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	58	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
60	51, 54, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
61	60	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
62	56, 59, 61	fsumser 15653	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚))
63	40	fveq1i 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚)
64	63	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚) = (𝐺‘𝑚)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
66	50, 62, 65	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
67	18, 43, 66	eqfnfvd 6979	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ⦋csb 3849   ↦ cmpt 5179   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  ovolval2lem  46887