Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 44872
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
fsumsermpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fsumsermpt.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀...π‘š) ∈ Fin)
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ πœ‘)
3 elfzuz 13503 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
53, 4eleqtrrdi 2838 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
82, 6, 7syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
91, 8fsumcl 15685 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
1110ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑀...𝑛) = (𝑀...π‘š))
1413sumeq1d 15653 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1514cbvmptv 5254 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1612, 15eqtri 2754 . . . 4 𝐹 = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1716fnmpt 6684 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
20 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
21 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
22 nfcv 2897 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜π‘—
2322nfcsb1 3912 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
2423nfel1 2913 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚
2521, 24nfim 1891 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
26 eleq1w 2810 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
2726anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
28 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
2928eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
3027, 29imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)))
3125, 30, 7chvarfv 2225 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
32 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 7013 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3420, 31, 33syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3534, 31eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
36 addcl 11194 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑗 + π‘₯) ∈ β„‚)
3736adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑗 + π‘₯) ∈ β„‚)
384, 19, 35, 37seqf 13994 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
3938ffnd 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
40 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
4140a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
4241fneq1d 6636 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍))
4339, 42mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
44 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
4516fvmpt2 7003 . . . . 5 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
4644, 10, 45syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
47 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(𝑀...π‘š)
48 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘˜(𝑀...π‘š)
49 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝐴
5028, 47, 48, 49, 23cbvsum 15647 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄
5150a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
5246, 51eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
53 simpl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ πœ‘)
54 elfzuz 13503 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5554, 4eleqtrrdi 2838 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5655adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5753, 56, 34syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
5857adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
59 id 22 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ 𝑍)
6059, 4eleqtrdi 2837 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6160adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6253, 56, 31syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6362adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6458, 61, 63fsumser 15682 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š))
6540fveq1i 6886 . . . . 5 (πΊβ€˜π‘š) = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)
6665eqcomi 2735 . . . 4 (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š)
6766a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
6852, 64, 673eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
6918, 43, 68eqfnfvd 7029 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β¦‹csb 3888   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   + caddc 11115  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  ovolval2lem  45936
  Copyright terms: Public domain W3C validator