Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 44281
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
fsumsermpt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fsumsermpt.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   π‘˜,𝑀,𝑛   π‘˜,𝑍,𝑛   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(π‘˜)   𝐹(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13934 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀...π‘š) ∈ Fin)
2 simpl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ πœ‘)
3 elfzuz 13493 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
53, 4eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
65adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
82, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
91, 8fsumcl 15675 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
109adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
1110ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑍 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑀...𝑛) = (𝑀...π‘š))
1413sumeq1d 15643 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1514cbvmptv 5260 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1612, 15eqtri 2760 . . . 4 𝐹 = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
1716fnmpt 6687 . . 3 (βˆ€π‘š ∈ 𝑍 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
20 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
21 nfv 1917 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
22 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜π‘—
2322nfcsb1 3916 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄
2423nfel1 2919 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜β¦‹π‘— / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚
2521, 24nfim 1899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
26 eleq1w 2816 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
2726anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
28 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑗 β†’ 𝐴 = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
2928eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
3027, 29imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)))
3125, 30, 7chvarfv 2233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
32 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 7016 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3420, 31, 33syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
3534, 31eqeltrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
36 addcl 11188 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑗 + π‘₯) ∈ β„‚)
3736adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (𝑗 + π‘₯) ∈ β„‚)
384, 19, 35, 37seqf 13985 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)):π‘βŸΆβ„‚)
3938ffnd 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
40 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
4140a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
4241fneq1d 6639 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍))
4339, 42mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
44 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
4516fvmpt2 7006 . . . . 5 ((π‘š ∈ 𝑍 ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
4644, 10, 45syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴)
47 nfcv 2903 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(𝑀...π‘š)
48 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘˜(𝑀...π‘š)
49 nfcv 2903 . . . . . 6 Ⅎ𝑗𝐴
5028, 47, 48, 49, 23cbvsum 15637 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄
5150a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...π‘š)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
5246, 51eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
53 simpl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ πœ‘)
54 elfzuz 13493 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5554, 4eleqtrrdi 2844 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5655adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
5753, 56, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
5857adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘—) = ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄)
59 id 22 . . . . . 6 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ 𝑍)
6059, 4eleqtrdi 2843 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6160adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6253, 56, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6362adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)) β†’ ⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6458, 61, 63fsumser 15672 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ Σ𝑗 ∈ (𝑀...π‘š)⦋𝑗 / π‘˜β¦Œπ΄ = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š))
6540fveq1i 6889 . . . . 5 (πΊβ€˜π‘š) = (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š)
6665eqcomi 2741 . . . 4 (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š)
6766a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
6852, 64, 673eqtrd 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΊβ€˜π‘š))
6918, 43, 68eqfnfvd 7032 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3892   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   + caddc 11109  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  seqcseq 13962  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  ovolval2lem  45345
  Copyright terms: Public domain W3C validator