Theorem fsumsermpt 46560

Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsermpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumsermpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fsumsermpt	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘, 𝑛)   𝐺(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt

Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14109	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3		elfzuz 13645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		fsumsermpt.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ 𝑍)
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
7		fsumsermpt.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	1, 8	fsumcl 15892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12		fsumsermpt.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
14	13	sumeq1d 15860	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
15	14	cbvmptv 5209	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
16	12, 15	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
17	16	fnmpt 6677	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
18	11, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
19		fsumsermpt.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
22		nfcv 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
23	22	nfcsb1 3870	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
24	23	nfel1 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
25	21, 24	nfim 1929	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26		eleq1w 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
27	26	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
28		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
30	27, 29	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)))
31	25, 30, 7	chvarfv 2277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
32		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
33	22, 23, 28, 32	fvmptf 7013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
34	20, 31, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
35	34, 31	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36		addcl 11275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
37	36	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
38	4, 19, 35, 37	seqf 14159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)):𝑍⟶ℂ)
39	38	ffnd 6708	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍)
40		fsumsermpt.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)))
42	41	fneq1d 6630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) Fn 𝑍))
43	39, 42	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑍)
44		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ 𝑍)
45	16	fvmpt2 7003	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
46	44, 10, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
47		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
48	28, 47, 23	cbvsum 15855	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
50	46, 49	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
51		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
52		elfzuz 13645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53	52, 4	eleqtrrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ 𝑍)
54	53	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
55	51, 54, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
56	55	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
57		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ 𝑍)
58	57, 4	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
59	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
60	51, 54, 31	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
61	60	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
62	56, 59, 61	fsumser 15889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚))
63	40	fveq1i 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚)
64	63	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚) = (𝐺‘𝑚)
65	64	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴))‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
66	50, 62, 65	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
67	18, 43, 66	eqfnfvd 7030	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⦋csb 3847   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  seqcseq 14137  Σcsu 15846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847

This theorem is used by:  ovolval2lem  47622