Theorem iprodrecl 15946

Description: The product of a non-trivially converging infinite real sequence is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
iprodcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iprodcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iprodcl.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iprodrecl.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iprodrecl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem iprodrecl

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iprodcl.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		iprodcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iprodcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4		iprodcl.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
5		iprodrecl.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	1, 2, 3, 4, 6	iprodclim2 15943	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)
8	4, 5	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9		remulcl 11195	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
10	9	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
11	1, 2, 8, 10	seqf 13989	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7087	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
13	1, 2, 7, 12	climrecl 15527	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   · cmul 11115  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  seqcseq 13966   ⇝ cli 15428  ∏cprod 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-prod 15850

This theorem is referenced by: (None)