MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iprodrecl 15890
Description: The product of a non-trivially converging infinite real sequence is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodcl.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iprodcl.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iprodcl.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
iprodcl.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iprodrecl.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iprodrecl (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   π‘˜,𝐹,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑦   π‘˜,𝑀,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑍,𝑛,𝑦   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem iprodrecl
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodcl.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iprodcl.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iprodcl.3 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
4 iprodcl.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
5 iprodrecl.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 11188 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
71, 2, 3, 4, 6iprodclim2 15887 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴)
84, 5eqeltrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9 remulcl 11141 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
109adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
111, 2, 8, 10seqf 13935 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7036 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
131, 2, 7, 12climrecl 15471 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056   Β· cmul 11061  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  seqcseq 13912   ⇝ cli 15372  βˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-prod 15794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator