Theorem serf 13853

Description: An infinite series of complex terms is a function from ℕ to ℂ. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
serf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
serf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
serf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem serf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		serf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		serf.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4		addcl 11055	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 5	seqf 13846	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  ℂcc 10971   + caddc 10976  ℤcz 12421  ℤ_≥cuz 12684  seqcseq 13823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-seq 13824

This theorem is referenced by:  clim2ser  15466  clim2ser2  15467  isermulc2  15469  serf0  15492  fsumcvg  15524  isumadd  15579  iserabs  15627  cvgcmpce  15630  isumsplit  15652  mertenslem2  15697  mertens  15698  efcj  15901  mtest  25670  mtestbdd  25671  pserulm  25688  pserdvlem2  25694  abelthlem5  25701  abelthlem6  25702  abelthlem7  25704  abelthlem8  25705  atantayl  26194  gamcvg  26312  gamcvg2lem  26315  dchrisumlem3  26746  dchrmusum2  26749  dchrvmasumiflem1  26756  dchrisum0re  26768  dchrisum0lem1b  26770  dchrisum0lem2a  26772  iprodefisumlem  33998  iprodefisum  33999  sumnnodd  43559