Theorem serf 14022

Description: An infinite series of complex terms is a function from ℕ to ℂ. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
serf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
serf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
serf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem serf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		serf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		serf.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
4		addcl 11215	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 5	seqf 14015	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℂcc 11131   + caddc 11136  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  seqcseq 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994

This theorem is referenced by:  clim2ser  15628  clim2ser2  15629  isermulc2  15631  serf0  15654  fsumcvg  15685  isumadd  15740  iserabs  15788  cvgcmpce  15791  isumsplit  15813  mertenslem2  15858  mertens  15859  efcj  16063  mtest  26334  mtestbdd  26335  pserulm  26352  pserdvlem2  26359  abelthlem5  26366  abelthlem6  26367  abelthlem7  26369  abelthlem8  26370  atantayl  26863  gamcvg  26982  gamcvg2lem  26985  dchrisumlem3  27418  dchrmusum2  27421  dchrvmasumiflem1  27428  dchrisum0re  27440  dchrisum0lem1b  27442  dchrisum0lem2a  27444  iprodefisumlem  35329  iprodefisum  35330  sumnnodd  45009