Theorem serfre 13822

Description: An infinite series of real numbers is a function from ℕ to ℝ. (Contributed by NM, 18-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
serf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
serf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
serfre.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
serfre	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem serfre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		serf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		serf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		serfre.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
4		readdcl 11024	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
6	1, 2, 3, 5	seqf 13814	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟶wf 6459  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  ℝcr 10940   + caddc 10944  ℤcz 12389  ℤ_≥cuz 12652  seqcseq 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-seq 13792

This theorem is referenced by:  iserle  15440  climserle  15443  iseraltlem2  15463  iseraltlem3  15464  iseralt  15465  isumrecl  15546  iserabs  15596  cvgcmp  15597  cvgcmpub  15598  cvgcmpce  15599  isumsup2  15627  climcndslem1  15630  climcndslem2  15631  climcnds  15632  effsumlt  15889  prmreclem6  16689  ovoliunlem1  24737  ovoliun  24740  ovoliun2  24741  voliunlem2  24786  voliunlem3  24787  vitalilem4  24846  mtest  25634  relgamcl  26282  basellem9  26309  rge0scvg  32005  esumpcvgval  32152  mblfinlem2  35875