Theorem setc2obas 18176

Description: ∅ and 1_o are distinct objects in (SetCat‘2_o). This combined with setc2ohom 18177 demonstrates that the category does not have pairwise disjoint hom-sets. See also df-cat 17749 and cat1 18179. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2obas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2obas	⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Proof of Theorem setc2obas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5275	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4733	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		setc2obas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		setc2ohom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
5		2oex 8474	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
7	4, 6	setcbas 18160	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘𝐶))
8	7	mptru 1577	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘𝐶)
9		df2o3 8470	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	3, 8, 9	3eqtr2i 2795	. . 3 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
11	2, 10	eleqtrri 2865	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
12		1oelpr 8473	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
13	12, 10	eleqtrri 2865	. 2 ⊢ 1o ∈ 𝐵
14		1n0 8481	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
15	11, 13, 14	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289  {cpr 4596  ‘cfv 6543  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456  Basecbs 17294  SetCatcsetc 18157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-setc 18158

This theorem is used by: (None)