MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setc2obas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2obas 18023
Description: and 1o are distinct objects in (SetCat‘2o). This combined with setc2ohom 18024 demonstrates that the category does not have pairwise disjoint hom-sets. See also df-cat 17591 and cat1 18026. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
setc2ohom.c 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2obas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setc2obas (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Proof of Theorem setc2obas
StepHypRef Expression
1 0ex 5297 . . . 4 ∅ ∈ V
21prid1 4756 . . 3 ∅ ∈ {∅, 1o}
3 setc2obas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 setc2ohom.c . . . . . 6 𝐶 = (SetCat‘2o)
5 2oex 8456 . . . . . . 7 2o ∈ V
65a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 2o ∈ V)
74, 6setcbas 18007 . . . . 5 (⊤ → 2o = (Base‘𝐶))
87mptru 1548 . . . 4 2o = (Base‘𝐶)
9 df2o3 8453 . . . 4 2o = {∅, 1o}
103, 8, 93eqtr2i 2765 . . 3 𝐵 = {∅, 1o}
112, 10eleqtrri 2831 . 2 ∅ ∈ 𝐵
12 1oex 8455 . . . 4 1o ∈ V
1312prid2 4757 . . 3 1o ∈ {∅, 1o}
1413, 10eleqtrri 2831 . 2 1o𝐵
15 1n0 8467 . 2 1o ≠ ∅
1611, 14, 153pm3.2i 1339 1 (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3470  c0 4315  {cpr 4621  cfv 6529  1oc1o 8438  2oc2o 8439  Basecbs 17123  SetCatcsetc 18004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-2o 8446  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-fz 13464  df-struct 17059  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-hom 17200  df-cco 17201  df-setc 18005
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator