Theorem setc2obas 18046

Description: ∅ and 1_o are distinct objects in (SetCat‘2_o). This combined with setc2ohom 18047 demonstrates that the category does not have pairwise disjoint hom-sets. See also df-cat 17611 and cat1 18049. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2obas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2obas	⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Proof of Theorem setc2obas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5297	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4758	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		setc2obas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		setc2ohom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
5		2oex 8472	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
7	4, 6	setcbas 18030	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘𝐶))
8	7	mptru 1540	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘𝐶)
9		df2o3 8469	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	3, 8, 9	3eqtr2i 2758	. . 3 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
11	2, 10	eleqtrri 2824	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
12		1oex 8471	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
13	12	prid2 4759	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
14	13, 10	eleqtrri 2824	. 2 ⊢ 1o ∈ 𝐵
15		1n0 8483	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1336	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466  ∅c0 4314  {cpr 4622  ‘cfv 6533  1_oc1o 8454  2_oc2o 8455  Basecbs 17143  SetCatcsetc 18027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-hom 17220  df-cco 17221  df-setc 18028

This theorem is referenced by: (None)