Theorem setc2obas 18056

Description: ∅ and 1_o are distinct objects in (SetCat‘2_o). This combined with setc2ohom 18057 demonstrates that the category does not have pairwise disjoint hom-sets. See also df-cat 17629 and cat1 18059. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2obas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2obas	⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Proof of Theorem setc2obas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5231	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4696	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		setc2obas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		setc2ohom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
5		2oex 8410	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
7	4, 6	setcbas 18040	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘𝐶))
8	7	mptru 1555	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘𝐶)
9		df2o3 8407	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	3, 8, 9	3eqtr2i 2770	. . 3 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
11	2, 10	eleqtrri 2840	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
12		1oex 8409	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
13	12	prid2 4697	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
14	13, 10	eleqtrri 2840	. 2 ⊢ 1o ∈ 𝐵
15		1n0 8417	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1347	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Syntax hints:   ∧ w3a 1093   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  Vcvv 3433  ∅c0 4263  {cpr 4559  ‘cfv 6488  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393  Basecbs 17174  SetCatcsetc 18037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-hom 17239  df-cco 17240  df-setc 18038

This theorem is referenced by: (None)