Theorem setc2obas 18021

Description: ∅ and 1_o are distinct objects in (SetCat‘2_o). This combined with setc2ohom 18022 demonstrates that the category does not have pairwise disjoint hom-sets. See also df-cat 17589 and cat1 18024. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2obas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2obas	⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Proof of Theorem setc2obas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5295	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4754	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		setc2obas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		setc2ohom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
5		2oex 8454	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
7	4, 6	setcbas 18005	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘𝐶))
8	7	mptru 1548	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘𝐶)
9		df2o3 8451	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	3, 8, 9	3eqtr2i 2765	. . 3 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
11	2, 10	eleqtrri 2831	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
12		1oex 8453	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
13	12	prid2 4755	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
14	13, 10	eleqtrri 2831	. 2 ⊢ 1o ∈ 𝐵
15		1n0 8465	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1339	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3469  ∅c0 4313  {cpr 4619  ‘cfv 6527  1_oc1o 8436  2_oc2o 8437  Basecbs 17121  SetCatcsetc 18002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-tp 4622  df-op 4624  df-uni 4897  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8681  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-fin 8921  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-nn 12190  df-2 12252  df-3 12253  df-4 12254  df-5 12255  df-6 12256  df-7 12257  df-8 12258  df-9 12259  df-n0 12450  df-z 12536  df-dec 12655  df-uz 12800  df-fz 13462  df-struct 17057  df-slot 17092  df-ndx 17104  df-base 17122  df-hom 17198  df-cco 17199  df-setc 18003

This theorem is referenced by: (None)