Theorem setc2obas 17459

Description: ∅ and 1_o are distinct objects in (SetCat‘2_o). This combined with setc2ohom 17460 demonstrates that the category does not have pairwise disjoint hom-sets. See also df-cat 17035 and cat1 17462. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2obas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2obas	⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Proof of Theorem setc2obas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5172	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4650	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		setc2obas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		setc2ohom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
5		2oex 8141	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
7	4, 6	setcbas 17443	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o = (Base‘𝐶))
8	7	mptru 1549	. . . 4 ⊢ 2o = (Base‘𝐶)
9		df2o3 8139	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	3, 8, 9	3eqtr2i 2767	. . 3 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
11	2, 10	eleqtrri 2832	. 2 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
12		1oex 8137	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
13	12	prid2 4651	. . 3 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
14	13, 10	eleqtrri 2832	. 2 ⊢ 1o ∈ 𝐵
15		1n0 8143	. 2 ⊢ 1o ≠ ∅
16	11, 14, 15	3pm3.2i 1340	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐵 ∧ 1o ∈ 𝐵 ∧ 1o ≠ ∅)

Syntax hints:   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  Vcvv 3397  ∅c0 4209  {cpr 4515  ‘cfv 6333  1_oc1o 8117  2_oc2o 8118  Basecbs 16579  SetCatcsetc 17440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-hom 16685  df-cco 16686  df-setc 17441

This theorem is referenced by: (None)