Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0revalmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0revalmpt 44705
Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0revalmpt.1 𝑥𝜑
sge0revalmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
sge0revalmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0revalmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0revalmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0revalmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0revalmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7066 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 44699 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
8 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
9 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑧𝑦
10 nfmpt1 5214 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
11 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
1210, 11nffv 6853 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
13 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑧((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
147, 8, 9, 12, 13cbvsum 15585 . . . . . . 7 Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
16 nfv 1918 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1903 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 elpwinss 43345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2119, 20sseldd 3946 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2221adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
23 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
2423, 22, 3syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
254fvmpt2 6960 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2622, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2726ex 414 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
2817, 27ralrimi 3239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
29 sumeq2 15584 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3115, 30eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3231mpteq2dva 5206 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3332rneqd 5894 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3433supeq1d 9387 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
356, 34eqtrd 2773 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3061  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561  cmpt 5189  ran crn 5635  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  supcsup 9381  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  [,)cico 13272  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-seq 13913  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0f1o  44709  sge0xaddlem1  44760  sge0xaddlem2  44761  sge0reuz  44774
  Copyright terms: Public domain W3C validator