Theorem sge0revalmpt 46983

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0revalmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0revalmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0revalmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0revalmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0revalmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0revalmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0revalmpt.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 46977	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
8		nfmpt1 5214	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
10	8, 9	nffv 6892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
11		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
12	7, 10, 11	cbvsum 15745	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
14		nfv 1941	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15	2, 14	nfan 1926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16		elpwinss 45660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
18		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
19	17, 18	sseldd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	adantll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
22	21, 20, 3	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23	4	fvmpt2 7002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
24	20, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	24	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
26	15, 25	ralrimi 3269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
27		sumeq2 15744	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
29	13, 28	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
30	29	mpteq2dva 5208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
31	30	rneqd 5929	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
32	31	supeq1d 9405	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
33	6, 32	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  supcsup 9399  0cc0 11099  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  [,)cico 13373  Σcsu 15736  Σ^{^}csumge0 46967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-seq 14037  df-sum 15737  df-sumge0 46968

This theorem is referenced by:  sge0f1o  46987  sge0xaddlem1  47038  sge0xaddlem2  47039  sge0reuz  47052