Theorem sge0revalmpt 43916

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0revalmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0revalmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0revalmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0revalmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0revalmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0revalmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0revalmpt.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 6991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 43910	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
8		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
9		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑦
10		nfmpt1 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
12	10, 11	nffv 6784	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
13		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
14	7, 8, 9, 12, 13	cbvsum 15407	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
16		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		elpwinss 42597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
21	19, 20	sseldd 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantll 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
24	23, 22, 3	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25	4	fvmpt2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
27	26	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
28	17, 27	ralrimi 3141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
29		sumeq2 15406	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
31	15, 30	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
32	31	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
33	32	rneqd 5847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
34	33	supeq1d 9205	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
35	6, 34	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  supcsup 9199  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  [,)cico 13081  Σcsu 15397  Σ^{^}csumge0 43900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398  df-sumge0 43901

This theorem is referenced by:  sge0f1o  43920  sge0xaddlem1  43971  sge0xaddlem2  43972  sge0reuz  43985