Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0revalmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0revalmpt 45679
Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0revalmpt.1 𝑥𝜑
sge0revalmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
sge0revalmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0revalmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0revalmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0revalmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0revalmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 eqid 2727 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7121 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 45673 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
8 nfcv 2898 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
9 nfcv 2898 . . . . . . . 8 𝑧𝑦
10 nfmpt1 5250 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
11 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
1210, 11nffv 6901 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
13 nfcv 2898 . . . . . . . 8 𝑧((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
147, 8, 9, 12, 13cbvsum 15659 . . . . . . 7 Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
16 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1895 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 elpwinss 44326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2119, 20sseldd 3979 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2221adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
23 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
2423, 22, 3syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
254fvmpt2 7010 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2622, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2726ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
2817, 27ralrimi 3249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
29 sumeq2 15658 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3115, 30eqtrd 2767 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3231mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3332rneqd 5934 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3433supeq1d 9455 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
356, 34eqtrd 2767 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wral 3056  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4598  cmpt 5225  ran crn 5673  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  supcsup 9449  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  *cxr 11263   < clt 11264  [,)cico 13344  Σcsu 15650  Σ^csumge0 45663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-seq 13985  df-sum 15651  df-sumge0 45664
This theorem is referenced by:  sge0f1o  45683  sge0xaddlem1  45734  sge0xaddlem2  45735  sge0reuz  45748
  Copyright terms: Public domain W3C validator