Theorem sge0revalmpt 46736

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0revalmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0revalmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0revalmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0revalmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0revalmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0revalmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0revalmpt.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 46730	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
8		nfmpt1 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
10	8, 9	nffv 6852	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
11		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
12	7, 10, 11	cbvsum 15630	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
14		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
15	2, 14	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
16		elpwinss 45409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
19	17, 18	sseldd 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
22	21, 20, 3	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
23	4	fvmpt2 6961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
24	20, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	24	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
26	15, 25	ralrimi 3236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
27		sumeq2 15629	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
29	13, 28	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
30	29	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
31	30	rneqd 5895	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
32	31	supeq1d 9361	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
33	6, 32	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  supcsup 9355  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  [,)cico 13275  Σcsu 15621  Σ^{^}csumge0 46720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-seq 13937  df-sum 15622  df-sumge0 46721

This theorem is referenced by:  sge0f1o  46740  sge0xaddlem1  46791  sge0xaddlem2  46792  sge0reuz  46805