Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0revalmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0revalmpt 43916
Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0revalmpt.1 𝑥𝜑
sge0revalmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
sge0revalmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0revalmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0revalmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0revalmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0revalmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 eqid 2738 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6991 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 43910 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
8 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
9 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑧𝑦
10 nfmpt1 5182 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
11 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
1210, 11nffv 6784 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
13 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑧((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
147, 8, 9, 12, 13cbvsum 15407 . . . . . . 7 Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
16 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1902 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 elpwinss 42597 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2119, 20sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2221adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
23 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
2423, 22, 3syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
254fvmpt2 6886 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2726ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
2817, 27ralrimi 3141 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
29 sumeq2 15406 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3115, 30eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3231mpteq2dva 5174 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3332rneqd 5847 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3433supeq1d 9205 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
356, 34eqtrd 2778 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wnf 1786  wcel 2106  wral 3064  cin 3886  wss 3887  𝒫 cpw 4533  cmpt 5157  ran crn 5590  cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  supcsup 9199  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  *cxr 11008   < clt 11009  [,)cico 13081  Σcsu 15397  Σ^csumge0 43900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398  df-sumge0 43901
This theorem is referenced by:  sge0f1o  43920  sge0xaddlem1  43971  sge0xaddlem2  43972  sge0reuz  43985
  Copyright terms: Public domain W3C validator