Theorem sge0revalmpt 45553

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0revalmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0revalmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0revalmpt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0revalmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0revalmpt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0revalmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0revalmpt.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
6	1, 5	sge0reval 45547	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
8		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
9		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧𝑦
10		nfmpt1 5256	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
11		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
12	10, 11	nffv 6901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)
13		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
14	7, 8, 9, 12, 13	cbvsum 15648	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
16		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
17	2, 16	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18		elpwinss 44198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑦)
21	19, 20	sseldd 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	21	adantll 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝜑)
24	23, 22, 3	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
25	4	fvmpt2 7009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	22, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
27	26	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
28	17, 27	ralrimi 3253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
29		sumeq2 15647	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
31	15, 30	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵)
32	31	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
33	32	rneqd 5937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵))
34	33	supeq1d 9447	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
35	6, 34	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  supcsup 9441  0cc0 11116  +∞cpnf 11252  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255  [,)cico 13333  Σcsu 15639  Σ^{^}csumge0 45537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-sum 15640  df-sumge0 45538

This theorem is referenced by:  sge0f1o  45557  sge0xaddlem1  45608  sge0xaddlem2  45609  sge0reuz  45622