Theorem smfsupdmmbl 47587

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their supremum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fourth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfsupdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfsupdmmbl.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupdmmbl.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupdmmbl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupdmmbl.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupdmmbl.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfsupdmmbl.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsupdmmbl.10	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupdmmbl	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem smfsupdmmbl

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupdmmbl.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfsupdmmbl.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1944	. 2 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfsupdmmbl.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfsupdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		smfsupdmmbl.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		smfsupdmmbl.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfsupdmmbl.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
9		smfsupdmmbl.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
10		smfsupdmmbl.9	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
11		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚})) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
12		smfsupdmmbl.10	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smfsupdmmbllem 47586	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  ∩ ciin 4957   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  supcsup 9396  ℝcr 11103   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℕcn 12237  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  SAlgcsalg 47050  SMblFncsmblfn 47437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-ac2 10451  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10105  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-rest 17479  df-salg 47051  df-smblfn 47438

This theorem is used by: (None)