Theorem smfsupdmmbl 47288

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their supremum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fourth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfsupdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfsupdmmbl.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfsupdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfsupdmmbl.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfsupdmmbl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfsupdmmbl.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsupdmmbl.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfsupdmmbl.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsupdmmbl.10	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfsupdmmbl	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑆,𝑛   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsupdmmbl

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupdmmbl.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfsupdmmbl.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1921	. 2 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfsupdmmbl.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfsupdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		smfsupdmmbl.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		smfsupdmmbl.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfsupdmmbl.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
9		smfsupdmmbl.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
10		smfsupdmmbl.9	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
11		eqid 2739	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚})) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) < 𝑚}))
12		smfsupdmmbl.10	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ sup(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smfsupdmmbllem 47287	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  supcsup 9343  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  SAlgcsalg 46751  SMblFncsmblfn 47138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-rest 17376  df-salg 46752  df-smblfn 47139

This theorem is referenced by: (None)