Theorem sqsscirc2 33902

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	3	recld 15239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11296	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))))
8	6, 7	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))))
9	3	imcld 15240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11296	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
12	10	absge0d 15489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))
13	11, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))))
14		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15		sqsscirc1 33901	. . 3 ⊢ (((((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
16	8, 13, 14, 15	syl21anc 838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
17	3	absval2d 15490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
18	17	breq1d 5161	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
19		absresq 15347	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
21		absresq 15347	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
22	9, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
23	20, 22	oveq12d 7456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
24	23	fveq2d 6918	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
25	24	breq1d 5161	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
26	18, 25	bitr4d 282	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
27	16, 26	sylibrd 259	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160  ℝcr 11161  0cc0 11162   + caddc 11165   < clt 11302   ≤ cle 11303   − cmin 11499   / cdiv 11927  2c2 12328  ℝ⁺crp 13041  ↑cexp 14108  ℜcre 15142  ℑcim 15143  √csqrt 15278  abscabs 15279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-sup 9489  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-rp 13042  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281

This theorem is referenced by:  tpr2rico  33905