Theorem sqsscirc2 30557

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpll 757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	3	recld 14345	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 14587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 14595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))))
8	6, 7	jca 507	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))))
9	3	imcld 14346	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 14587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
12	10	absge0d 14595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))
13	11, 12	jca 507	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))))
14		simpr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15		sqsscirc1 30556	. . 3 ⊢ (((((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
16	8, 13, 14, 15	syl21anc 828	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
17	3	absval2d 14596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
18	17	breq1d 4898	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
19		absresq 14453	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
21		absresq 14453	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
22	9, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
23	20, 22	oveq12d 6942	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
24	23	fveq2d 6452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
25	24	breq1d 4898	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
26	18, 25	bitr4d 274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
27	16, 26	sylibrd 251	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274   + caddc 10277   < clt 10413   ≤ cle 10414   − cmin 10608   / cdiv 11034  2c2 11434  ℝ⁺crp 12141  ↑cexp 13182  ℜcre 14248  ℑcim 14249  √csqrt 14384  abscabs 14385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387

This theorem is referenced by:  tpr2rico  30560