Theorem sqsscirc2 32490

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	3	recld 15079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15321	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15329	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))))
8	6, 7	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))))
9	3	imcld 15080	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15321	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
12	10	absge0d 15329	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))
13	11, 12	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))))
14		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15		sqsscirc1 32489	. . 3 ⊢ (((((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
16	8, 13, 14, 15	syl21anc 836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
17	3	absval2d 15330	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
18	17	breq1d 5115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
19		absresq 15187	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
21		absresq 15187	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
22	9, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
23	20, 22	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
24	23	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
25	24	breq1d 5115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
26	18, 25	bitr4d 281	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
27	16, 26	sylibrd 258	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  ↑cexp 13967  ℜcre 14982  ℑcim 14983  √csqrt 15118  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  tpr2rico  32493