Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc2 32490
Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11512 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
43recld 15079 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
54recnd 11183 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
65abscld 15321 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
75absge0d 15329 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))))
86, 7jca 512 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))))
93imcld 15080 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
1110abscld 15321 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
1210absge0d 15329 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))))
1311, 12jca 512 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))))
14 simpr 485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15 sqsscirc1 32489 . . 3 (((((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷))
168, 13, 14, 15syl21anc 836 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷))
173absval2d 15330 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))))
1817breq1d 5115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))) < 𝐷))
19 absresq 15187 . . . . . . 7 ((ℜ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2))
204, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2))
21 absresq 15187 . . . . . . 7 ((ℑ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))
229, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))
2320, 22oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2)))
2423fveq2d 6846 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))))
2524breq1d 5115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))) < 𝐷))
2618, 25bitr4d 281 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷))
2716, 26sylibrd 258 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  cexp 13967  cre 14982  cim 14983  csqrt 15118  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by:  tpr2rico  32493
  Copyright terms: Public domain W3C validator