Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqsscirc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqsscirc2 32155
Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
sqsscirc2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
31, 2subcld 11437 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
43recld 15004 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
54recnd 11108 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
65abscld 15247 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
75absge0d 15255 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))))
86, 7jca 513 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))))
93imcld 15005 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11108 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
1110abscld 15247 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
1210absge0d 15255 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))))
1311, 12jca 513 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))))
14 simpr 486 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15 sqsscirc1 32154 . . 3 (((((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷))
168, 13, 14, 15syl21anc 836 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷))
173absval2d 15256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))))
1817breq1d 5106 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))) < 𝐷))
19 absresq 15113 . . . . . . 7 ((ℜ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2))
204, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2))
21 absresq 15113 . . . . . . 7 ((ℑ‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))
229, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))
2320, 22oveq12d 7359 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2)))
2423fveq2d 6833 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))))
2524breq1d 5106 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵𝐴))↑2))) < 𝐷))
2618, 25bitr4d 282 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴)))↑2))) < 𝐷))
2716, 26sylibrd 259 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5096  cfv 6483  (class class class)co 7341  cc 10974  cr 10975  0cc0 10976   + caddc 10979   < clt 11114  cle 11115  cmin 11310   / cdiv 11737  2c2 12133  +crp 12835  cexp 13887  cre 14907  cim 14908  csqrt 15043  abscabs 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-sup 9303  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-seq 13827  df-exp 13888  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046
This theorem is referenced by:  tpr2rico  32158
  Copyright terms: Public domain W3C validator