Theorem sqsscirc2 33641

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	3	recld 15177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15419	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 15427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))))
8	6, 7	jca 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))))
9	3	imcld 15178	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 15419	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
12	10	absge0d 15427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))
13	11, 12	jca 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))))
14		simpr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15		sqsscirc1 33640	. . 3 ⊢ (((((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
16	8, 13, 14, 15	syl21anc 836	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
17	3	absval2d 15428	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
18	17	breq1d 5159	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
19		absresq 15285	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
21		absresq 15285	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
22	9, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
23	20, 22	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
24	23	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
25	24	breq1d 5159	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
26	18, 25	bitr4d 281	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
27	16, 26	sylibrd 258	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  ℝ⁺crp 13009  ↑cexp 14062  ℜcre 15080  ℑcim 15081  √csqrt 15216  abscabs 15217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219

This theorem is referenced by:  tpr2rico  33644