Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subofld 30386
 Description: Every subfield of an ordered field is also an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
subofld ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ oField)

Proof of Theorem subofld
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . 2 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ Field)
2 isofld 30372 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
32simprbi 492 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
43adantr 474 . . 3 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → 𝐹 ∈ oRing)
5 isfld 19159 . . . . 5 ((𝐹s 𝐴) ∈ Field ↔ ((𝐹s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ CRing))
65simprbi 492 . . . 4 ((𝐹s 𝐴) ∈ Field → (𝐹s 𝐴) ∈ CRing)
7 crngring 18956 . . . 4 ((𝐹s 𝐴) ∈ CRing → (𝐹s 𝐴) ∈ Ring)
81, 6, 73syl 18 . . 3 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ Ring)
9 suborng 30385 . . 3 ((𝐹 ∈ oRing ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Ring) → (𝐹s 𝐴) ∈ oRing)
104, 8, 9syl2anc 579 . 2 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ oRing)
11 isofld 30372 . 2 ((𝐹s 𝐴) ∈ oField ↔ ((𝐹s 𝐴) ∈ Field ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ oRing))
121, 10, 11sylanbrc 578 1 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ oField)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6924   ↾s cress 16267  Ringcrg 18945  CRingccrg 18946  DivRingcdr 19150  Fieldcfield 19151  oRingcorng 30365  oFieldcofld 30366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-dec 11851  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-ple 16369  df-0g 16499  df-poset 17343  df-toset 17431  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-subg 17986  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-field 19153  df-omnd 30269  df-ogrp 30270  df-orng 30367  df-ofld 30368 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator