Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subofld 30921
Description: Every subfield of an ordered field is also an ordered field. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
subofld ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ oField)

Proof of Theorem subofld
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . 2 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ Field)
2 isofld 30907 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
32simprbi 500 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
43adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → 𝐹 ∈ oRing)
5 isfld 19502 . . . . 5 ((𝐹s 𝐴) ∈ Field ↔ ((𝐹s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ CRing))
65simprbi 500 . . . 4 ((𝐹s 𝐴) ∈ Field → (𝐹s 𝐴) ∈ CRing)
7 crngring 19300 . . . 4 ((𝐹s 𝐴) ∈ CRing → (𝐹s 𝐴) ∈ Ring)
81, 6, 73syl 18 . . 3 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ Ring)
9 suborng 30920 . . 3 ((𝐹 ∈ oRing ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Ring) → (𝐹s 𝐴) ∈ oRing)
104, 8, 9syl2anc 587 . 2 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ oRing)
11 isofld 30907 . 2 ((𝐹s 𝐴) ∈ oField ↔ ((𝐹s 𝐴) ∈ Field ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ oRing))
121, 10, 11sylanbrc 586 1 ((𝐹 ∈ oField ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ Field) → (𝐹s 𝐴) ∈ oField)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2114  (class class class)co 7140  s cress 16475  Ringcrg 19288  CRingccrg 19289  DivRingcdr 19493  Fieldcfield 19494  oRingcorng 30900  oFieldcofld 30901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-ple 16576  df-0g 16706  df-poset 17547  df-toset 17635  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-field 19496  df-omnd 30731  df-ogrp 30732  df-orng 30902  df-ofld 30903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator