Theorem tcphsub 24970

Description: The subtraction operation of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphsub.v	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphsub	⊢ − = (-g‘𝐺)

Proof of Theorem tcphsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphsub.v	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑊)
2		tcphval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	tcphbas 24968	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7	2, 6	tchplusg 24969	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺))
9	5, 8	grpsubpropd 18965	. . 3 ⊢ (⊤ → (-g‘𝑊) = (-g‘𝐺))
10	9	mptru 1547	. 2 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝐺)
11	1, 10	eqtri 2759	1 ⊢ − = (-g‘𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541  ‘cfv 6543  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  -_gcsg 18858  toℂPreHilctcph 24916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-ds 17224  df-0g 17392  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-tng 24314  df-tcph 24918

This theorem is referenced by: (None)