Theorem tgaasncol 33110

Description: Slide a non-collinearity along the line it is off: if 𝑋 is off line 𝑌𝑍 and 𝑊 is a point of that line other than 𝑍, then 𝑋 is off line 𝑍𝑊 too. Lines 𝑍𝑌 and 𝑍𝑊 coincide (tglineeltr 29129), which is what the exterior-angle hypothesis of tgaasexc 33111 needs at the moving point. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgaasncol.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgaasncol.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgaasncol.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgaasncol.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgaasncol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tgaasncol.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgaasncol.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
tgaasncol.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
tgaasncol.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
tgaasncol.2	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
tgaasncol.3	⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
tgaasncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊))

Proof of Theorem tgaasncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgaasncol.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgaasncol.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		tgaasncol.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgaasncol.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgaasncol.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		tgaasncol.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
7		tgaasncol.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		tgaasncol.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolcom 29054	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
10	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
12	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolrot1 29055	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
14	1, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 13	ncolne1 29123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
15	14	necomd 3014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
17		tgaasncol.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
19		tgaasncol.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑍)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑍)
21		tgaasncol.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
22	15	neneqd 2964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 = 𝑌)
23	21, 22	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
25	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊))
27	20	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑍 ≠ 𝑊)
28	27	neneqd 2964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → ¬ 𝑍 = 𝑊)
29	26, 28	olcnd 891	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊))
30	1, 3, 2, 10, 11, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 29	tglineeltr 29129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌))
31	30	orcd 887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊)) → (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
32	9, 31	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑊) ∨ 𝑍 = 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004

This theorem is used by:  tgaasexc  33111